Math

Trigonometrie & Grundlagen der Analysis · Einheitskreis

Einheitskreis

Der Einheitskreis ist der Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt im Ursprung; sein Punkt zum Winkel θ ist (cos θ, sin θ). Ziehe ihn und entdecke, wie Vorzeichen, besondere Werte und tan aus der Darstellung folgen.

01

Der Einheitskreis in dieser Visualisierung

Der Einheitskreis ist der Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt im Ursprung, x2+y2=1x^2 + y^2 = 1. Ein Winkel θ\theta wird von der positiven x-Achse aus gemessen, bei positivem Vorzeichen gegen den Uhrzeigersinn; er endet an einem Punkt P des Kreises. Kosinus und Sinus sind als die Koordinaten dieses Punkts definiert. So sind sie für jeden Winkel definiert — stumpf, negativ oder größer als eine volle Umdrehung — und nicht nur für die spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks. Wo cos⁡θ≠0\cos\theta \ne 0 gilt, ist der Tangens ihr Quotient. Die Seite schreibt jeden Winkel im Bogenmaß und in Grad, θ=2π/3=120∘\theta = 2\pi/3 = 120^\circ.

Die Definition und die Kreisgleichung
P=(cos⁡θ, sin⁡θ),tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cos⁡2θ+sin⁡2θ=1P = (\cos\theta,\ \sin\theta), \qquad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

In der Darstellung stehen die beiden Katheten des Bezugsdreiecks, von O bis (cos⁡θ,0)(\cos\theta, 0) und von dort nach oben oder unten bis P, für cos θ und sin θ als gerichtete Verschiebungen: nach rechts und oben positiv, nach links und unten negativ. Die Gerade OP schneidet die senkrechte Gerade x=1x = 1 bei T =(1,tan⁡θ)= (1, \tan\theta), also ist tan θ die Steigung von OP; bei π/2+nπ\pi/2 + n\pi sind die Geraden parallel und tan θ ist nicht definiert. T liegt auf dem Strahl OP, wenn cos θ positiv ist, und hinter O auf seiner rückwärtigen Verlängerung, wenn cos θ negativ ist — also wenn sec θ negativ ist. tan θ kann dabei beide Vorzeichen haben (bei 210° beträgt er √3/3). Weil P auf dem Kreis liegt, ist cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 dessen eigene Gleichung. Spiegelung von P an den Achsen und am Ursprung ergibt die Punkte zu π−θ\pi - \theta, π+θ\pi + \theta und −θ-\theta: dasselbe Dreieck mit anderen Vorzeichen. Daraus folgen Reduktionsformeln wie sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin\theta. Winkel, die sich um ganze Umdrehungen unterscheiden (koterminale Winkel wie 13π/613\pi/6 und π/6\pi/6), enden am selben Punkt und haben dieselben Funktionswerte.

02

Was auffällt

  • Die exakten Werte der 16 besonderen Winkel (Vielfache von 30° und 45°) stammen aus zwei Dreiecken: einem halben gleichseitigen Dreieck für 30° und 60° und dem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck für 45°. Bei einem Bezugswinkel von 30°, 45° oder 60° erscheint automatisch das zum Wert gehörende Dreieck: Es liefert den Betrag (bei 30° ist die Sehne PP′ gleich 1 und |sin θ| die Hälfte davon), und der Quadrant liefert das Vorzeichen. Ein als Bruchteil von π oder in Grad eingegebener Winkel bleibt exakt; geschlossene Ausdrücke wie 3/2\sqrt{3}/2 erscheinen nur bei den besonderen Winkeln. Alle anderen Werte werden als Dezimalzahlen mit ≈ angezeigt.
  • Mit Alle sechs ist U der Schnittpunkt der Geraden OP mit y=1y = 1: cot θ ist die gerichtete Strecke auf y = 1 bis U, und sec θ sowie csc θ sind die vorzeichenbehafteten Längen OT und OU — negativ, wenn T oder U hinter O auf der rückwärtigen Verlängerung von OP liegt. tan und sec sind bei π/2+nπ\pi/2 + n\pi nicht definiert, cot und csc bei nπn\pi.
  • Der Maßstab ist fest: Er wird nie aus dem Wert von tan bestimmt. Liegt T (oder U) außerhalb des Diagramms, weist ein Pfeil am Rand auf den Punkt und nennt seine Position; du kannst weiterhin zoomen, auf beiden Achsen gleich. Nach einer Umdrehung windet sich der Winkelbogen als Spirale nach außen — die Verbreiterung selbst hat keine Bedeutung. Nach drei Umdrehungen wird nur die letzte gezeichnet; die übrigen werden gezählt („+4 Umdrehungen“, „−2 Umdrehungen“).
03

Bedienung

  • Die Werttasten 0°, 30°, 45°, 60° und 90° setzen den Winkel exakt. Nahe einem besonderen Winkel rastet der gezogene Punkt P dort ein; ziehst du weiter, löst er sich wieder. Ein Klick auf den Punkt eines besonderen Winkels schickt P auf dem kürzeren Weg dorthin. Der Winkel kann von −20π bis 20π im Bogenmaß (2π/3 oder eine Dezimalzahl wie 2.0944, die eine Dezimalzahl bleibt) oder in Grad (120°) eingegeben werden; die Pfeiltasten von P ändern ihn in Schritten von einem Grad.
  • Der Präsentationsmodus öffnet eine Vollbildansicht für Projektoren: ← → wechseln durch die besonderen Winkel, H blendet alle Werte aus, während die Darstellung sichtbar bleibt.
04

Verwandte Themen

Weiterführende Literatur: Wikipedia: Unit circle (Englisch); OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 7.3 Unit Circle (Englisch).