Sinusfunktion: Amplitude, Periode und Phasenverschiebung im interaktiven Diagramm

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Sinusfunktionen in dieser Visualisierung

Eine Sinusfunktion ist eine Funktion der Form $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ mit $A \ne 0$ und $\omega > 0$ : Ihr Graph entsteht durch Strecken, Stauchen und Verschieben des Graphen von $\sin x$ . Man schreibt auch $A\sin\big(B(x - C)\big) + D$ mit $B = \omega$ , $C = -\varphi/\omega$ , $D = k$ . Kosinusfunktionen gehören ebenfalls dazu, denn $\cos x = \sin(x + \pi/2)$ . Im Bedienfeld werden $A$ und $\omega$ mit Drehreglern eingestellt ( $\omega$ von ½ bis 4), die Verschiebung $-\varphi/\omega$ und $k$ mit Schiebereglern.

Die gestrichelte Kurve ist der Grundgraph $y = \sin x$ ; die durchgezogene Kurve zeigt die im Bedienfeld eingestellte Funktion. Die gelben Markierungen messen die von den Parametern bestimmten Größen, jede mit einer eigenen Aufgabe:

Vier Parameter, vier Aufgaben

\text{Amplitude} = |A|, \quad \text{Periode} = \frac{2\pi}{\omega}, \quad \text{Verschiebung} = -\frac{\varphi}{\omega}, \quad \text{Mittellinie } y = k\text{.}

Die vertikale Klammer reicht von der Mittellinie zu einem Hochpunkt (bei $A < 0$ zu einem Tiefpunkt). Die horizontale Klammer umfasst eine Periode. Der Pfeil auf der Mittellinie reicht von $x = 0$ bis $x = -\varphi/\omega$ , wo der Zyklus von sin x nun beginnt. Die blauen Punkte sind die fünf markanten Punkte dieses Zyklus, an denen $\omega x + \varphi$ die Werte $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ und $2\pi$ annimmt: Anfang, Extrempunkt $y = k + A$ , Mittellinie, Extrempunkt $y = k - A$ und Ende — bei $A > 0$ zuerst ein Hochpunkt und dann ein Tiefpunkt, bei $A < 0$ umgekehrt.

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Was auffällt

Änderungen innerhalb der Klammer wirken horizontal und scheinen umgekehrt zu funktionieren: $\omega = 2$ verkürzt die Periode (auf $\pi$ , nicht $4\pi$ ), und ein negatives $\varphi$ verschiebt den Graphen nach rechts.
Beim Drehen von $\omega$ wird der Graph um seinen Zyklusanfang $x = -\varphi/\omega$ gestaucht oder gestreckt: Die Seite hält diese Verschiebung beim Drehen von $\omega$ fest, sodass sich $\varphi = -\omega\cdot(\text{Verschiebung})$ mitändert.
Der Graph schwingt zwischen $k - |A|$ und $k + |A|$ ; die Mittellinie liegt genau dazwischen. Ein negatives $A$ spiegelt ihn an der Mittellinie; die Amplitude bleibt $|A|$ .

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Richtig lesen

Die Verschiebung ist $-\varphi/\omega$ , nicht $-\varphi$ : $\sin(2x - 2\pi/3) = \sin\big(2(x - \pi/3)\big)$ ist $\sin 2x$ , um $\pi/3$ nach rechts verschoben. Man kann auch zuerst verschieben: Verschiebe $\sin x$ um $-\varphi$ und teile dann die x-Koordinaten durch $\omega$ ; dabei wird auch die Verschiebung geteilt.
Die Periode hängt nur von $\omega$ ab, die Amplitude nur von $A$ . Mit $A = 0$ ist die Funktion die Konstante $k$ : Die Amplitude ist 0, nichts schwingt und es gibt keine kleinste Periode. Deshalb stehen bei Periode und $\varphi$ Striche. $\varphi$ wird aus der Verschiebung berechnet und nicht auf ein bestimmtes Intervall reduziert; $\varphi$ und $\varphi + 2n\pi$ ergeben denselben Graphen.
Auf dieser Seite bleibt $\omega$ positiv. Ein negatives $\omega$ bringt nichts Neues: Wegen $\sin(-u) = -\sin u$ lässt sich $\omega$ durch $|\omega|$ , $A$ durch $-A$ und $\varphi$ durch $-\varphi$ ersetzen.

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Skizzieren mit markanten Punkten

Setzt man $\omega x + \varphi$ gleich $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ , erhält man $x = s,\ s + T/4,\ s + T/2,\ s + 3T/4,\ s + T$ mit $s = -\varphi/\omega$ und $T = 2\pi/\omega$ ; dort gilt $y = k,\ k + A,\ k,\ k - A,\ k$ . Diese fünf Punkte einzuzeichnen und glatt zu verbinden ist die übliche Methode, einen Zyklus von Hand zu skizzieren. Die Tabelle Markante Punkte im Bedienfeld zeigt sie für die eingestellte Funktion; zeige auf eine Spalte, um ihren Punkt im Diagramm hervorzuheben.

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Bedienung

$A$ und $\omega$ haben Drehregler; die Verschiebung $-\varphi/\omega$ hat einen horizontalen Schieberegler (von $-\pi$ bis $\pi$ , in Schritten von $\pi/12$ ), $k$ einen vertikalen — entsprechend der Bewegung des Graphen. Klicke auf einen Wert, um ihn einzugeben (die Verschiebung akzeptiert π/6, 2π/3, -pi/4 oder Angaben im Bogenmaß). Unter der Verschiebung zeigt „≡“ die Verschiebung desselben Graphen in die andere Richtung: Verschiebungen, die sich um eine ganze Periode unterscheiden, ergeben denselben Graphen.
Ziehe im Diagramm den Zyklusanfang, um den Graphen zu verschieben, den ersten Extrempunkt nach oben oder unten, um $A$ zu ändern, und das Zyklusende seitlich, um die Periode zu ändern.
Der Präsentationsmodus öffnet eine Vollbildansicht für Projektoren (← → verschieben den Graphen um $\pi/12$ , ↑ ↓ verschieben die Mittellinie um 0.5, H blendet die Messwerte aus).

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