Funktions­transformationen

Eine Transformation verschiebt, streckt, staucht oder spiegelt den Graphen einer Funktion. Mit vier Parametern lautet die transformierte Funktion $g(x) = a\,f(b(x - h)) + k$, wobei $b \ne 0$ gilt. Standardmäßig verwendet diese Seite einen unsymmetrischen Streckenzug $f$, damit jede Transformation sichtbar wird. Daneben stehen sieben häufige Ausgangsfunktionen bereit: $x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$, $1/x$, $|x|$, $2^x$ und $\sin x$.

Die gestrichelte Kurve ist der Ausgangsgraph $y = f(x)$, die durchgezogene ist $y = g(x)$. Ein Punkt P = $(x_0, f(x_0))$ auf dem Ausgangsgraphen und sein Bild P′ auf $g$ sind durch rote Pfeile verbunden, einen pro Schritt. Jeder Punkt des Graphen bewegt sich nach derselben Regel:

Warum das Innere umgekehrt wirkt: Ein Punkt $(x, y)$ liegt auf dem Graphen von $g$, wenn $x_0 = b(x - h)$ ein Argument von $f$ ist und $y = a\,f(x_0) + k$ gilt. Auflösen nach der neuen x-Koordinate ergibt $x = x_0/b + h$: Die Verschiebung $h$ wird addiert, die alte Koordinate aber durch $b$ geteilt. Deshalb verschiebt $h = 2$ den Graphen nach rechts, obwohl die Formel $x - 2$ zeigt, und $b = 2$ halbiert seine Breite. Die äußeren Parameter wirken direkt auf den Funktionswert.

Auch geschrieben als $y = f(x + \varphi)$: Für $\varphi > 0$ wandert der Graph um $\varphi$ nach links; das entspricht hier $h = -\varphi$. Auch die Sinusfunktion $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ ist ein Spezialfall dieser Seite: $a = A$, $b = \omega$, $h = -\varphi/\omega$.

Die rote Taste baut $g$ schrittweise aus $f$ auf: zuerst innerhalb der Klammer (horizontal), dann außerhalb (vertikal). Innen gibt es zwei Wege, wählbar mit dem Hebel neben der Taste. Zuerst skalieren: Die x-Koordinaten durch $b$ teilen (horizontale Streckung oder Stauchung relativ zur y-Achse, bei $b < 0$ mit Spiegelung daran), dann $h$ addieren. Zuerst verschieben: Zu den x-Koordinaten $bh$ addieren, dann durch $b$ teilen — auch die Verschiebung wird geteilt, sodass genau $h$ bleibt. Außen: Die y-Koordinaten mit $a$ multiplizieren (vertikale Streckung oder Stauchung relativ zur x-Achse, bei $a < 0$ mit Spiegelung daran), dann $k$ addieren. Schritte, deren Parameter nichts verändert, werden übersprungen.

Beide Wege enden bei demselben $g$. Nach jedem Ablauf bleiben die Zwischengraphen blass sichtbar, bis ein Parameter geändert wird. Lege den Hebel um und drücke erneut, um beide Wege nebeneinander zu sehen.

In jeder Richtung kommt die Streckung vor der Verschiebung, wenn diese als $h$ oder $k$ angegeben ist: Erst um $h$ verschieben und dann die x-Koordinaten durch $b$ teilen würde auch die Verschiebung teilen; am Ende wäre der Graph um $h/b$ verschoben. (Verschieben zuerst funktioniert mit der Verschiebung $bh$ — auf der Hebelseite „Verschieben“.) Horizontale und vertikale Schritte beeinflussen einander nicht; jede Richtung darf zuerst kommen.