Quadratische Funktion: Interaktive Visualisierung

01

Quadratische Funktionen in dieser Visualisierung

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ mit $a \ne 0$ . Ihr Graph ist eine Parabel, für $a > 0$ nach oben und für $a < 0$ nach unten geöffnet. Diese Seite schreibt dieselbe quadratische Funktion in drei gleichwertigen Formen. Der Moduswähler oben im Bedienfeld bestimmt, welche du veränderst; alle drei bleiben synchron, wenn du am Graphen ziehst oder die Regler bedienst.

Allgemeine Form · Scheitelform · Faktorform

y = ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k = a(x - x_1)(x - x_2)

Jede Form zeigt eine Eigenschaft des Graphen. In der allgemeinen Form gibt $c$ den y-Achsenabschnitt an: Der Graph schneidet die y-Achse im hohlen Punkt $(0, c)$ ; sein Spiegelpunkt $(2h, c)$ zeigt die Symmetrie. Die Scheitelform zeigt den Scheitel $(h, k)$ und die Symmetrieachse $x = h$ . Die Faktorform zeigt die Nullstellen, an denen der Graph die x-Achse trifft. Über den reellen Zahlen existiert sie nur bei nichtnegativer Diskriminante.

Scheitel und Nullstellen aus a, b, c

h = -\frac{b}{2a},\quad k = c - \frac{b^2}{4a},\qquad \Delta = b^2 - 4ac,\quad r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Quadratische Ergänzung: von der allgemeinen Form zur Scheitelform

\begin{aligned} ax^2 + bx + c &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \\ &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - \frac{b^2}{4a} + c \\ &= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} \end{aligned}

02

Was auffällt

Quadratische Ergänzung entspricht einer Verschiebung: Die drei Schritte oben verwandeln die allgemeine Form in die Scheitelform. $a(x - h)^2 + k$ ist $y = ax^2$ , um $h$ entlang der x-Achse und um $k$ nach oben oder unten verschoben. Ändere $h$ oder $k$ in der Scheitelform oder ziehe den Scheitel, um $y = ax^2$ und beide Verschiebungen zu sehen.
$\Delta > 0$ : zwei reelle Nullstellen; $\Delta = 0$ : eine doppelte Nullstelle, der Scheitel liegt auf der Achse; $\Delta < 0$ : keine reellen Nullstellen — die Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ hat dann zwei konjugiert komplexe Lösungen, die keine Punkte dieses Graphen sind.
$a$ ist in allen drei Formen dieselbe Zahl: Sie bestimmt Breite und Öffnungsrichtung der Parabel. Nur $b$ zu ändern verschiebt den Graphen nicht bloß seitwärts; der Scheitel läuft entlang der Parabel $y = c - ax^2$ . Ändert man allein $a$ , bleibt je nach Form etwas anderes fest: In der allgemeinen Form bleiben $(0, c)$ und die dortige Tangente $y = bx + c$ erhalten — jede Parabel berührt diese Gerade an diesem Punkt —, während der Scheitel auf $y = c + \tfrac{b}{2}x$ wandert. In der Scheitelform bleibt der Scheitel fest; in der Faktorform bleiben die Nullstellen fest und der Scheitel wandert auf der Symmetrieachse.
Die Seite rechnet mit exakten Brüchen; die Formen zeigen daher exakte Dezimalzahlen, Brüche oder Quadratwurzeln. Eine zu lange Zahl wird gerundet, ihre Gleichung dann mit ≈ geschrieben. Beide Achsen haben denselben Maßstab, außer in der Ballwurf-Ansicht; unterschiedliche Maßstäbe werden im Graphen ausdrücklich vermerkt.

03

Bedienung

Der Moduswähler bestimmt die veränderbare Form: In der allgemeinen Form stellst du $a$ , $b$ und $c$ mit Drehknöpfen ein; in der Scheitelform $a$ und den Scheitel $(h, k)$ ; in der Faktorform $a$ und die beiden Nullstellen (mit Rädern für Feinschritte). Ohne reelle Nullstellen ist die Faktorform gesperrt. Öffne Umrechnungsdetails, um die Zahlen der anderen beiden Formen samt den üblichen Formeln zu sehen.
Das Greifen eines Graphpunkts wechselt zu seiner Form. Ziehe den Scheitel, um die Parabel zu verschieben, eine Nullstelle entlang der x-Achse ( $a$ und die andere Nullstelle bleiben fest; eine irrationale andere Nullstelle wird zuvor auf sechs Nachkommastellen gerundet, unsichtbar wenig; eine doppelte Nullstelle verschiebt die ganze Parabel seitwärts) oder den y-Achsenabschnitt entlang der y-Achse (nur $c$ ändert sich). Ziehe an anderer Stelle zum Verschieben der Ansicht. Klicke eine Zahl zur Eingabe als Dezimalzahl oder Bruch, etwa 3/4.
Der Präsentationsmodus öffnet eine Vollbildansicht für Projektoren (Pfeiltasten verschieben die Parabel; H blendet die Ergebnisse aus: Nur die Zahlen der bearbeiteten Form bleiben sichtbar, die beiden anderen Formen und Umrechnungen zeigen Fragezeichen).

04

Quadratische Funktionen in dieser Visualisierung

Was auffällt

Bedienung

Verwandte Themen