二次函数：交互演示

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二次函数与本页画面

形如 $y = ax^2 + bx + c$ （ $a \ne 0$ ）的函数叫作二次函数，它的图像是抛物线： $a > 0$ 时开口向上， $a < 0$ 时开口向下。本页把同一个二次函数写成三种等价的形式：面板最上面的模式旋钮选用哪一种来调，拖动图像或转动旋钮时三者同步变化。

一般式 · 顶点式 · 交点式

y = ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k = a(x - x_1)(x - x_2)

每种形式直接露出图像的一个特征。一般式里的 $c$ 是图像与y轴交点的纵坐标，交点就是空心点 $(0, c)$ ；它关于对称轴的对称点 $(2h, c)$ 体现了抛物线的对称性。顶点式露出顶点 $(h, k)$ 和对称轴 $x = h$ 。交点式露出零点，也就是图像与x轴交点的横坐标；只有当判别式不小于0时，才能在实数范围内写成交点式。

由a、b、c求顶点和零点

h = -\frac{b}{2a},\quad k = c - \frac{b^2}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a},\qquad \Delta = b^2 - 4ac,\quad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

配方：由一般式到顶点式

\begin{aligned} ax^2 + bx + c &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \\ &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - \frac{b^2}{4a} + c \\ &= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} \end{aligned}

02

值得注意的现象

配方就是平移：上面三步把一般式化成顶点式， $a(x - h)^2 + k$ 就是把 $y = ax^2$ 沿x轴平移 $h$ 、再上下平移 $k$ 。在顶点式里转 $h$ 、 $k$ 或拖动顶点时，图上会画出 $y = ax^2$ 和这两段平移。
$\Delta > 0$ ：两个不相等的实数根； $\Delta = 0$ ：两个相等的实数根，顶点在x轴上； $\Delta < 0$ ：没有实数根——这时方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 有一对共轭复数根，它们不是这条图像上的点。
$a$ 在三种形式里是同一个数：它决定抛物线的开口大小和方向。只改 $b$ 并不是左右平移图像，顶点沿着抛物线 $y = c - ax^2$ 移动。只改 $a$ 时，三种写法固定住的东西不同：一般式里 $(0, c)$ 和那里的切线 $y = bx + c$ 不动，每条抛物线都在这一点与它相切，顶点沿直线 $y = c + \tfrac{b}{2}x$ 移动；顶点式里顶点不动；交点式里两个零点不动，顶点沿对称轴升降。
本页用精确分数计算，三种形式显示精确的小数、分数或根式；太长的数会四舍五入，这时等号写成≈。两条坐标轴比例相同，只有"抛出的球"这一例不同；比例不同时图上会有提示。

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操作

模式旋钮选写法：一般式调 $a$ 、 $b$ 、 $c$ （旋钮），顶点式调 $a$ 和顶点 $(h, k)$ ，交点式调 $a$ 和两个零点（滚轮细调）；没有实数根时交点式那一档拨不过去。“换算详情”小窗用课本公式写出另外两种写法的数，需要时打开。
图上抓哪个点就换到哪种写法。拖动顶点平移抛物线；沿x轴拖动一个零点（ $a$ 和另一个零点不变；另一个零点是无理数时先取六位小数，变化小到看不出；两根相等时拖动会左右平移整条抛物线）；沿y轴拖动与y轴的交点（只改变 $c$ ）；拖动其他地方平移视图。点击任何数字可以直接输入，小数或分数（如3/4）都可以。
“演示模式”打开适合投影的全屏视图（方向键平移抛物线；H隐藏答案：只显示现在这种写法的数，另外两种写法和换算的结果换成问号）。

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二次函数与本页画面

值得注意的现象

操作

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