函数图像变换

函数图像的变换是把一个函数的图像平移、伸缩或作对称，得到另一个函数的图像。用四个参数写出来，变换后的函数是 $g(x) = a\,f(b(x - h)) + k$，其中 $b \ne 0$。本页默认用一条不对称的折线 $f$（没有对称性，每一种变换都看得出来），另有七个常见函数：$x^2$、$x^3$、$\sqrt{x}$、$1/x$、$|x|$、$2^x$ 和 $\sin x$。

虚线是原函数 $y = f(x)$ 的图像，实线是 $y = g(x)$ 的图像。原图像上的点 P = $(x_0, f(x_0))$ 和它在 $g$ 上的像 P′ 之间，红色箭头每一步画一段。图像上的每个点都按同一个规则移动：

为什么括号里的参数“反着来”：点 $(x, y)$ 在 $g$ 的图像上，当且仅当 $x_0 = b(x - h)$ 是 $f$ 的自变量，并且 $y = a\,f(x_0) + k$。解出新的横坐标，得 $x = x_0/b + h$：$h$ 是加上去的，原来的横坐标却要除以 $b$。所以 $h = 2$ 让图像向右移，虽然式子里写的是 $x - 2$；$b = 2$ 让图像的宽度减半。括号外的参数直接作用在函数值上。

也常写成 $y = f(x + \varphi)$：$\varphi > 0$ 时图像向左平移 $\varphi$ 个单位（“左加右减”），对应本页的 $h = -\varphi$。正弦型函数 $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ 也是本页的特例：$a = A$，$b = \omega$，$h = -\varphi/\omega$。

按下红色按钮，图像一步一步从 $f$ 变成 $g$：先变括号里（横向），再变括号外（纵向）。括号里有两条路，用红键旁的拨杆选。先伸缩：横坐标除以 $b$（以 $y$ 轴为准伸缩，$b < 0$ 时还关于 $y$ 轴对称），再加上 $h$。先平移：横坐标先加上 $bh$，再除以 $b$——平移量也跟着除以 $b$，最后正好是 $h$。括号外：纵坐标乘以 $a$（以 $x$ 轴为准伸缩，$a < 0$ 时还关于 $x$ 轴对称），再加上 $k$。参数不起作用的步骤会跳过。

两条路落在同一个 $g$ 上。每走完一条，路上的中间图像留成淡影，直到改参数为止；拨到另一边再按一次，两条路就并排摆在图上。

平移量写成 $h$、$k$ 时，同一方向上要先伸缩、后平移：如果先平移 $h$ 再把横坐标除以 $b$，平移量也会被除以 $b$，图像实际只平移了 $h/b$。先平移也可以，但平移量要取 $bh$（拨杆拨到“先平移”走的就是这条路）——这正是由 $y = \sin x$ 得到 $y = \sin(\omega x + \varphi)$ 的两条路（设 $\omega > 0$）：先平移 $-\varphi$（$\varphi > 0$ 时即向左平移 $\varphi$ 个单位），再把横坐标变为原来的 $1/\omega$；或者先伸缩，再平移 $-\varphi/\omega$。$\omega < 0$ 时伸缩倍数是 $1/|\omega|$，还要再关于 $y$ 轴对称。横向和纵向的变换互不影响，先做哪个方向都可以。