الدالة التربيعية: تصوّر تفاعلي

01

الدوال التربيعية في هذا التصوّر

الدالة التربيعية هي دالة $f(x) = ax^2 + bx + c$ مع $a \ne 0$ . رسمها قطع مكافئ، مفتوح إلى أعلى عندما $a > 0$ وإلى أسفل عندما $a < 0$ . تكتب الصفحة دالة تربيعية واحدة بثلاث صيغ متكافئة: يختار قرص النمط أعلى اللوحة الصيغة التي تضبطها، وتبقى الصيغ الثلاث متزامنة أثناء سحب الرسم أو تحريك أدوات التحكم.

الصيغة القياسية · صيغة الرأس · الصيغة المحلّلة

y = ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k = a(x - x_1)(x - x_2)

تُظهر كل صيغة خاصية للرسم. في الصيغة القياسية، تعطي $c$ المقطع مع محور y: يقطع الرسم محور y عند النقطة الفارغة $(0, c)$ ؛ وتُظهر صورتها المرآتية $(2h, c)$ التناظر. تُظهر صيغة الرأس الرأس $(h, k)$ ومحور التناظر $x = h$ . وتُظهر الصيغة المحلّلة الجذور، حيث يلتقي الرسم بمحور x؛ ولا توجد هذه الصيغة على الأعداد الحقيقية إلا عندما يكون المميّز غير سالب.

الرأس والجذور من a وb وc

h = -\frac{b}{2a},\quad k = c - \frac{b^2}{4a},\qquad \Delta = b^2 - 4ac,\quad r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

إكمال المربع: من الصيغة القياسية إلى صيغة الرأس

\begin{aligned} ax^2 + bx + c &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \\ &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - \frac{b^2}{4a} + c \\ &= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} \end{aligned}

02

ما الذي يمكنك ملاحظته؟

إكمال المربع إزاحة: تحوّل الخطوات الثلاث أعلاه الصيغة القياسية إلى صيغة الرأس، و $a(x - h)^2 + k$ هي $y = ax^2$ بعد إزاحتها بمقدار $h$ على محور x وبمقدار $k$ إلى أعلى أو أسفل. تغيير $h$ أو $k$ في صيغة الرأس، أو سحب الرأس، يرسم $y = ax^2$ والإزاحتين.
$\Delta > 0$ : جذران حقيقيان؛ $\Delta = 0$ : جذر مزدوج واحد، والرأس على المحور؛ $\Delta < 0$ : لا جذور حقيقية — عندئذ للمعادلة $ax^2 + bx + c = 0$ جذران مركّبان مترافقان، لا يمثّلان نقطتين على هذا الرسم.
$a$ هو العدد نفسه في الصيغ الثلاث: يحدّد عرض القطع المكافئ واتجاه فتحته. تغيير $b$ وحده لا يزيح الرسم جانبيًا؛ بل يسير الرأس على القطع المكافئ $y = c - ax^2$ . تغيير $a$ وحده يثبّت شيئًا مختلفًا في كل صيغة: في القياسية تبقى $(0, c)$ ومماسها $y = bx + c$ ثابتين — يمسّ كل قطع مكافئ ذلك المستقيم عند تلك النقطة — ويسير الرأس على المستقيم $y = c + \tfrac{b}{2}x$ ؛ وفي صيغة الرأس يبقى الرأس ثابتًا؛ وفي المحلّلة تبقى الجذور ويتحرك الرأس على محور التناظر.
تحسب الصفحة بكسور دقيقة، فتُظهر الصيغ أعدادًا عشرية أو كسورًا أو جذورًا تربيعية دقيقة. إذا طال العدد أكثر مما يمكن عرضه قُرّب، وكُتبت معادلته بعلامة ≈. للمحورين مقياس واحد، إلا في مشهد الكرة المقذوفة؛ وتنبّه ملاحظة على الرسم كلما اختلفا.

03

أدوات التحكم

يختار قرص النمط الصيغة التي تضبطها: تضبط القياسية $a$ و $b$ و $c$ (بمقابض)، وصيغة الرأس $a$ والرأس $(h, k)$ ، والمحلّلة $a$ والجذرين (بعجلات للخطوات الدقيقة)؛ وعند غياب جذور حقيقية يُمنع وضع الصيغة المحلّلة. افتح تفاصيل التحويل لرؤية أعداد الصيغتين الأخريين مع الصيغ المدرسية.
الإمساك بنقطة على الرسم ينقلك إلى صيغتها. اسحب الرأس لتحريك القطع المكافئ، أو جذرًا على محور x (تبقى $a$ والجذر الآخر ثابتين؛ يُكتب الجذر الآخر غير النسبي أولًا بست خانات عشرية، وهو تغيّر أصغر من أن يُرى؛ وتحريك جذر مزدوج يزيح القطع كله جانبيًا)، أو نقطة تقاطع محور y على محور y (تتغيّر $c$ وحدها)؛ واسحب في موضع آخر لتحريك المشهد. انقر أي عدد لكتابته، عشريًا أو كسرًا مثل 3/4.
يفتح وضع العرض عرضًا بملء الشاشة لأجهزة العرض (تحرّك الأسهم القطع المكافئ؛ ويخفي H النتائج: تبقى أعداد الصيغة التي تضبطها فقط، وتعرض الصيغتان الأخريان والتحويلات علامات استفهام).

04

موضوعات ذات صلة

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Quadratic function (الإنجليزية); OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 5.1 Quadratic Functions (الإنجليزية).