Funzione quadratica: visualizzazione interattiva

01

Le funzioni quadratiche in questa visualizzazione

Una funzione quadratica è una funzione $f(x) = ax^2 + bx + c$ con $a \ne 0$ . Il suo grafico è una parabola, aperta verso l’alto quando $a > 0$ e verso il basso quando $a < 0$ . Questa pagina scrive una quadratica in tre forme equivalenti: il selettore in cima al pannello sceglie quella da regolare e tutte e tre restano sincronizzate mentre trascini il grafico o usi i comandi.

Forma generale · con vertice · fattorizzata

y = ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k = a(x - x_1)(x - x_2)

Ogni forma mostra una caratteristica del grafico. Nella forma generale, $c$ dà l’intercetta sull’asse y: il grafico attraversa l’asse y nel punto vuoto $(0, c)$ ; la sua immagine speculare $(2h, c)$ mostra la simmetria. La forma con vertice mostra il vertice $(h, k)$ e l’asse di simmetria $x = h$ . La forma fattorizzata mostra le radici, dove il grafico incontra l’asse x; sui reali esiste solo quando il discriminante non è negativo.

Vertice e radici da a, b, c

h = -\frac{b}{2a},\quad k = c - \frac{b^2}{4a},\qquad \Delta = b^2 - 4ac,\quad r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Completamento del quadrato: dalla forma generale a quella con vertice

\begin{aligned} ax^2 + bx + c &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \\ &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - \frac{b^2}{4a} + c \\ &= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} \end{aligned}

02

Cosa osservare

Completare il quadrato è una traslazione: i tre passaggi sopra trasformano la forma generale in quella con vertice e $a(x - h)^2 + k$ è $y = ax^2$ spostata di $h$ lungo l’asse x e di $k$ in alto o in basso. Variare $h$ o $k$ nella forma con vertice, oppure trascinare il vertice, disegna $y = ax^2$ e i due spostamenti.
$\Delta > 0$ : due radici reali; $\Delta = 0$ : una radice doppia, con il vertice sull’asse; $\Delta < 0$ : nessuna radice reale — l’equazione $ax^2 + bx + c = 0$ ha allora due radici complesse coniugate, che non sono punti di questo grafico.
$a$ è lo stesso numero in tutte e tre le forme: stabilisce quanto è larga la parabola e in quale verso si apre. Variare solo $b$ non trasla lateralmente il grafico; il vertice percorre la parabola $y = c - ax^2$ . Variare solo $a$ mantiene fissa una cosa diversa in ogni forma: in quella generale $(0, c)$ e la tangente $y = bx + c$ in quel punto restano fissi — ogni parabola tocca quella retta in quel punto — e il vertice percorre la retta $y = c + \tfrac{b}{2}x$ ; nella forma con vertice resta fisso il vertice; in quella fattorizzata restano fisse le radici e il vertice si muove lungo l’asse di simmetria.
La pagina calcola con frazioni esatte, quindi le forme mostrano decimali, frazioni o radici quadrate esatti. Un numero troppo lungo da mostrare viene arrotondato e la sua equazione viene scritta con ≈. I due assi condividono la stessa scala, tranne nella vista guidata della palla lanciata; una nota sul grafico segnala quando le scale differiscono.

03

Comandi

Il selettore sceglie la forma da regolare: la forma generale imposta $a$ , $b$ e $c$ (manopole), quella con vertice $a$ e il vertice $(h, k)$ , quella fattorizzata $a$ e le due radici (rotelle per regolazioni fini); senza radici reali la posizione fattorizzata è bloccata. Apri Dettagli delle conversioni per vedere i numeri delle altre due forme con le formule del manuale.
Afferrare un punto sul grafico passa alla sua forma. Trascina il vertice per spostare la parabola, una radice lungo l’asse x ( $a$ e l’altra radice restano fissi; un’altra radice irrazionale viene prima scritta a sei decimali, una variazione invisibile; una radice doppia sposta lateralmente tutta la parabola), oppure l’intercetta sull’asse y lungo quell’asse (cambia solo $c$ ); trascina altrove per spostare la vista. Fai clic su un numero per digitarlo, come decimale o frazione, per esempio 3/4.
Modalità presentazione apre una vista a schermo intero per proiettori (le frecce spostano la parabola; H nasconde le risposte: restano solo i numeri della forma che regoli, mentre le altre due forme e le conversioni mostrano punti interrogativi).

04

Concetti collegati

Per approfondire: Wikipedia: Quadratic function (Inglese); OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 5.1 Quadratic Functions (Inglese).