Sezione conica: visualizzazione interattiva

Le sezioni coniche in questa visualizzazione

Una sezione conica (o conica) è la curva in cui un piano incontra un cono a due falde: due coni uniti nelle punte, il vertice, attorno a un unico asse, prolungati all’infinito in entrambe le direzioni. La semiapertura $\alpha$ del cono è l’angolo tra l’asse e le generatrici; il piano forma un angolo $\beta$ con l’asse (da $0^\circ$ , parallelo all’asse, a $90^\circ$ , perpendicolare a esso) e si trova a distanza $d$ dal vertice. Ogni sezione è una circonferenza, un’ellisse, una parabola o un’iperbole oppure, quando il piano passa per il vertice, un punto, una retta o due rette.

Un numero decide il tipo di curva

e = \frac{\cos\beta}{\cos\alpha} \qquad \beta > \alpha:\ e < 1 \qquad \beta = \alpha:\ e = 1 \qquad \beta < \alpha:\ e > 1

Ruota il piano diminuendo l’angolo da $90^\circ$ . La circonferenza ( $e = 0$ ) diventa un’ellisse sempre più lunga; quando il piano è parallelo a una generatrice del cono ( $\beta = \alpha$ ), l’estremo lontano va all’infinito e la curva è una parabola; ruotando ancora un poco, il piano raggiunge anche l’altra falda, dove un secondo ramo arriva dall’infinito: un’iperbole. La finestra Forma reale mostra la sezione frontalmente a scala fissa, tenendo fermo il suo estremo vicino, il punto più vicino al vertice, così si vede l’estremo lontano uscire dalla finestra. Il tipo di curva viene deciso usando gli angoli esattamente come digitati: $\beta = 30.01^\circ$ rispetto a $\alpha = 30^\circ$ è un’ellisse con $e \approx 0.9999$ , non una parabola.

Da dove vengono i fuochi

Le sfere di Dandelin si trovano all’interno del cono, ciascuna tangente al cono lungo una circonferenza e al piano in un punto: quei punti sono i fuochi $F_1$ e $F_2$ . Da un punto $P$ della curva, tutti i segmenti tangenti alla stessa sfera hanno uguale lunghezza, quindi $PF_1$ è uguale alla distanza lungo la generatrice passante per $P$ fino alla prima circonferenza di tangenza e $PF_2$ alla distanza fino alla seconda.
Per un’ellisse entrambe le sfere sono nella stessa falda e $P$ si trova tra le circonferenze, quindi $PF_1 + PF_2$ è la lunghezza della generatrice tra di esse, uguale per ogni $P$ : $2a$ . Per un’iperbole le sfere sono in falde opposte e $|PF_1 - PF_2| = 2a$ . Una parabola ha spazio per una sola sfera.
Una direttrice è la retta in cui il piano secante incontra il piano di una circonferenza di tangenza. Le distanze di $P$ dal fuoco e dalla direttrice mantengono lo stesso rapporto, $PF_1 / PD_1 = e$ ; per la parabola sono uguali. La circonferenza non ha direttrice: i due piani sono paralleli.

Equivoci da evitare

La prospettiva fa sembrare ellittica una circonferenza nella vista 3D; la finestra Forma reale oppure Guarda la sezione di fronte mostra la forma effettiva. La scala della finestra non cambia mai da sola: i numeri sottostanti indicano dove si trova l’estremo lontano o l’altro ramo.
Il cono è disegnato solo vicino al vertice e sfuma alle estremità, ma prosegue all’infinito. Un’ellisse lunga resta chiusa, per quanto lontano sia il suo estremo, e una parabola non è mezza ellisse: non ha affatto un estremo lontano.
Il tipo di curva e la relazione tra $\beta$ e $\alpha$ sono esatti; $e$ , le lunghezze e le distanze sono calcolati e indicati con ≈. Il vetro, le linee tenui e la sfumatura sono solo effetti visivi.

Comandi

Ruota $\beta$ con la manopola o trascina il punto blu sul piano; si aggancia a $\alpha$ e $90^\circ$ . La rotella sposta il piano; $d = 0$ lo fa passare per il vertice. Gli angoli si possono digitare in gradi o come multipli di π. Con le sfere o le direttrici attive, trascina $P$ lungo la curva. Modalità presentazione apre una vista a schermo intero: ← → ruotano il piano, ↑ ↓ lo spostano.

Concetti collegati

Per approfondire: Wikipedia: Conic section (Inglese); Wikipedia: Dandelin spheres (Inglese); OpenStax, Precalculus 2e, 10.5 Conic Sections in Polar Coordinates (Inglese).