Sección cónica: visualización interactiva

Las secciones cónicas en esta visualización

Una sección cónica (o cónica) es la curva en que un plano corta un cono doble: dos conos unidos por sus puntas, el vértice, alrededor de un mismo eje, que se extienden indefinidamente en ambas direcciones. El semiángulo $\alpha$ del cono es el ángulo entre el eje y sus generatrices; el plano forma un ángulo $\beta$ con el eje (desde $0^\circ$ , paralelo al eje, hasta $90^\circ$ , perpendicular a él) y está a una distancia $d$ del vértice. Toda sección es una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola; si el plano pasa por el vértice, es un punto, una recta o dos rectas.

Un número determina el tipo de curva

e = \frac{\cos\beta}{\cos\alpha} \qquad \beta > \alpha:\ e < 1 \qquad \beta = \alpha:\ e = 1 \qquad \beta < \alpha:\ e > 1

Reduce el ángulo del plano desde $90^\circ$ . La circunferencia ( $e = 0$ ) se convierte en una elipse cada vez más larga; cuando el plano es paralelo a una generatriz del cono ( $\beta = \alpha$ ), el extremo lejano se va al infinito y la curva es una parábola; gira un poco más y el plano alcanza también el otro cono, donde llega desde el infinito una segunda rama: una hipérbola. La ventana de forma real muestra la sección de frente a escala fija y mantiene inmóvil su extremo cercano, el punto más próximo al vértice, para que se vea salir de la ventana el extremo lejano. El tipo de curva se decide con los ángulos exactamente como se escribieron: $\beta = 30.01^\circ$ frente a $\alpha = 30^\circ$ es una elipse con $e \approx 0.9999$ , no una parábola.

De dónde salen los focos

Las esferas de Dandelin están dentro del cono; cada una toca el cono en una circunferencia y el plano en un punto: esos puntos son los focos $F_1$ y $F_2$ . Desde un punto $P$ de la curva, todos los segmentos tangentes a una misma esfera tienen la misma longitud, así que $PF_1$ es igual a la distancia, por la generatriz que pasa por $P$ , hasta la primera circunferencia de tangencia, y $PF_2$ a la distancia hasta la segunda.
En una elipse, ambas esferas están en el mismo cono y $P$ está entre las circunferencias, de modo que $PF_1 + PF_2$ es la longitud de la generatriz entre ellas, la misma para todo $P$ : $2a$ . En una hipérbola, las esferas están en conos opuestos y $|PF_1 - PF_2| = 2a$ . En una parábola solo cabe una esfera.
Una directriz es la recta donde el plano secante corta el plano de una circunferencia de tangencia. Las distancias de $P$ al foco y a la directriz mantienen el mismo cociente, $PF_1 / PD_1 = e$ ; en la parábola son iguales. La circunferencia no tiene directriz: los dos planos son paralelos.

Qué no conviene confundir

La perspectiva hace que una circunferencia parezca una elipse en la vista 3D; la ventana de forma real o Mirar la sección de frente muestra su forma verdadera. La escala de la ventana nunca cambia por sí sola: los números debajo indican dónde está el extremo lejano o la otra rama.
El cono solo se dibuja cerca del vértice y se desvanece en sus extremos; se extiende indefinidamente. Una elipse larga sigue siendo cerrada, por lejos que quede su extremo, y una parábola no es media elipse: no tiene extremo lejano.
El tipo de curva y la relación entre $\beta$ y $\alpha$ son exactos; $e$ , las longitudes y las distancias se calculan y se indican con ≈. El cristal, sus líneas tenues y el desvanecimiento solo afectan a la representación.

Controles

Gira $\beta$ con su mando o arrastra el asa azul del plano; se ajusta en $\alpha$ y $90^\circ$ . La rueda mueve el plano; $d = 0$ lo hace pasar por el vértice. Los ángulos pueden escribirse en grados o como múltiplos de π. Con las esferas o las directrices activadas, arrastra $P$ a lo largo de la curva. Modo presentación abre una vista a pantalla completa: ← → giran el plano y ↑ ↓ lo mueven.

Conceptos relacionados

Para saber más: Wikipedia: Conic section (Inglés); Wikipedia: Dandelin spheres (Inglés); OpenStax, Precalculus 2e, 10.5 Conic Sections in Polar Coordinates (Inglés).