Irisan Kerucut: Visualisasi Interaktif

Irisan kerucut dalam visualisasi ini

Irisan kerucut (atau konik) adalah kurva pertemuan bidang dengan kerucut ganda: dua kerucut tersambung di ujungnya, puncak, mengelilingi satu sumbu, memanjang tanpa batas ke kedua arah. Setengah sudut kerucut $\alpha$ adalah sudut antara sumbu dan garis pelukisnya; bidang membentuk sudut $\beta$ dengan sumbu (dari $0^\circ$ , sejajar sumbu, hingga $90^\circ$ , tegak lurus terhadapnya) dan berjarak $d$ dari puncak. Setiap penampang adalah lingkaran, elips, parabola, atau hiperbola, atau, saat bidang melalui puncak, satu titik, satu garis, atau dua garis.

Satu angka menentukan jenis kurva

e = \frac{\cos\beta}{\cos\alpha} \qquad \beta > \alpha:\ e < 1 \qquad \beta = \alpha:\ e = 1 \qquad \beta < \alpha:\ e > 1

Putar bidang turun dari $90^\circ$ . Lingkaran ( $e = 0$ ) menjadi elips yang makin panjang; tepat saat bidang sejajar dengan garis pelukis kerucut ( $\beta = \alpha$ ), ujung jauhnya menuju tak hingga dan kurva menjadi parabola; putar sedikit lagi dan bidang juga mencapai kerucut satunya, tempat cabang kedua masuk dari tak hingga: hiperbola. Jendela bentuk sebenarnya menampilkan penampang secara tegak lurus pada skala tetap, dengan ujung dekat, titik terdekat dengan puncak, dipertahankan di tempatnya, sehingga ujung jauh tampak keluar dari jendela. Jenis kurva ditentukan dari sudut persis seperti yang diketik: $\beta = 30.01^\circ$ dibanding $\alpha = 30^\circ$ adalah elips dengan $e \approx 0.9999$ , bukan parabola.

Asal fokus

Bola Dandelin berada di dalam kerucut, masing-masing menyentuh kerucut sepanjang lingkaran dan bidang pada satu titik: titik-titik itu adalah fokus $F_1$ dan $F_2$ . Dari titik $P$ pada kurva, setiap ruas garis singgung ke bola yang sama memiliki panjang sama, sehingga $PF_1$ sama dengan jarak sepanjang garis pelukis kerucut melalui $P$ ke lingkaran singgung pertama, dan $PF_2$ jarak ke lingkaran kedua.
Untuk elips, kedua bola berada pada kerucut yang sama dan $P$ terletak di antara lingkaran, sehingga $PF_1 + PF_2$ adalah panjang garis pelukis di antaranya, sama untuk setiap $P$ : $2a$ . Untuk hiperbola, bola berada pada kerucut yang berlawanan dan $|PF_1 - PF_2| = 2a$ . Parabola hanya memiliki ruang untuk satu bola.
Direktriks adalah garis pertemuan bidang pemotong dengan bidang lingkaran singgung. Jarak dari $P$ ke fokus dan ke direktriks mempertahankan rasio yang sama, $PF_1 / PD_1 = e$ ; untuk parabola keduanya sama. Lingkaran tidak memiliki direktriks: kedua bidang sejajar.

Hal yang jangan disalahartikan

Perspektif membuat lingkaran tampak seperti elips dalam tampilan 3D; jendela bentuk sebenarnya, atau Hadapkan ke penampang, menampilkan bentuk aslinya. Skala jendela tidak pernah berubah sendiri: angka di bawahnya menyatakan posisi ujung jauh atau cabang lain.
Kerucut hanya digambar di dekat puncak dan memudar di ujungnya; kerucut memanjang tanpa batas. Elips yang panjang tetap tertutup, sejauh apa pun ujungnya, dan parabola bukan setengah elips: parabola sama sekali tidak memiliki ujung jauh.
Jenis kurva dan hubungan antara $\beta$ dan $\alpha$ bersifat eksak; $e$ , panjang, dan jarak dihitung dan ditandai ≈. Kaca, garis samar, dan pemudaran hanya untuk tampilan.

Kontrol

Putar $\beta$ dengan kenopnya atau seret pegangan biru pada bidang; posisinya melekat pada $\alpha$ dan $90^\circ$ . Roda menggeser bidang; $d = 0$ menempatkannya melalui puncak. Sudut dapat diketik dalam derajat atau sebagai kelipatan π. Saat bola atau direktriks ditampilkan, seret $P$ sepanjang kurva. Mode presentasi membuka tampilan layar penuh: ← → memutar bidang, ↑ ↓ menggesernya.

Terkait

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Conic section (Bahasa Inggris); Wikipedia: Dandelin spheres (Bahasa Inggris); OpenStax, Precalculus 2e, 10.5 Conic Sections in Polar Coordinates (Bahasa Inggris).