Benda Putar: Visualisasi Interaktif

01

Benda putar dalam visualisasi ini

Benda putar adalah bangun ruang yang disapu saat daerah bidang berputar sekali terhadap garis pada bidangnya, yaitu sumbu. Di sini sumbu tetap di luar daerah, meskipun boleh menyentuh batasnya. Volume dijumlahkan dari irisan tipis melalui dua cara: irisan melintang sumbu berupa cakram atau cincin (metode cakram atau metode cincin), irisan sepanjang sumbu berupa kulit tabung (metode kulit tabung). Halaman ini menampilkan enam daerah terhadap sumbu horizontal dan vertikal, termasuk torus, kerucut, dan terompet Gabriel.

Satu volume, dua urutan penjumlahan, dan teorema Pappus

V = \int \pi\left(R^2 - r^2\right) dx = \int 2\pi\rho\, h(\rho)\, d\rho = \iint_{\text{daerah}} 2\pi\rho \, dA = 2\pi\bar\rho\, A

Pita tidak memiliki ketebalan. Melintang sumbu, pita menyapu cincin berluas $\pi(R^2 - r^2)$ , dengan $R$ dan $r$ diukur dari sumbu ke tepi jauh dan dekat daerah; saat $r = 0$ , cincin menjadi cakram. Sepanjang sumbu, pada jarak $\rho$ , pita sepanjang $h$ menyapu selimut tabung berluas $2\pi\rho h$ . Grafik di bawah tampilan memplot luas itu terhadap posisi pita: luas di bawah kurva adalah volume, dan bagian kuning, hingga pita, adalah volume yang telah dijumlahkan sejauh ini.

02

Mengapa kedua cara memberi volume sama

Bagian kecil daerah pada jarak $\rho$ dari sumbu menempuh lingkaran sepanjang $2\pi\rho$ . Pita melintang sumbu memuat bagian pada setiap jarak dari $r$ hingga $R$ , dan $\int_r^R 2\pi\rho\,d\rho = \pi(R^2-r^2)$ . Bentangkan irisan meluruskan setiap lingkaran cincin: semuanya bertumpuk menjadi trapesium dengan sisi sejajar $2\pi r$ dan $2\pi R$ , luas sama tetapi bentuk berbeda.
Pita sepanjang sumbu memuat bagian pada jarak yang sama, sehingga selimut tabungnya berluas $2\pi\rho h$ ; dipotong sepanjang satu garis dan dibentangkan, bentuknya persegi panjang $2\pi\rho \times h$ . Kedua metode menjumlahkan bagian yang sama dalam dua urutan: satu integral ganda, diambil dalam salah satu urutan.
Titik berat (pusat massa lembaran seragam) berjarak $\bar\rho = \frac{1}{A}\iint_D \rho\,dA$ dari sumbu, sehingga $V = 2\pi\bar\rho A$ (Pappus–Guldin). Menggeser sumbu sejauh $d$ lebih jauh menambahkan tepat $2\pi d A$ .

03

Hal yang jangan disalahartikan

Pita dan irisannya digambar tanpa ketebalan: tidak ada langkah $\Delta x$ di sini, dan volumenya integral eksak, bukan jumlah bagian tipis (irisan berhingga ada di halaman jumlah Riemann). Garis samar pada kaca hanya memperlihatkan bentuknya.
Luas cincin adalah $\pi R^2 - \pi r^2$ , bukan $\pi(R-r)^2$ . Terhadap $y = -1$ , jari-jari luarnya $f(x)+1$ , bukan $f(x)$ .
Volume bersifat eksak: luas dan momen pertama setiap daerah memiliki bentuk tertutup, dan Pappus memberikan volume darinya. Volume yang dijumlahkan sejauh ini dihitung secara numerik dan ditandai ≈. Di bawah $y = 1/x$ , luas $\ln b$ membesar tanpa batas sementara volume $\pi(1 - 1/b)$ tetap di bawah $\pi$ .

04

Kontrol

Seret pita pada tampilan atau di mana saja pada grafik; seret tepi hasil putarnya mengelilingi sumbu; seret sumbu, yang berhenti di daerah dan melekat pada bilangan bulat serta setengah (tombol nilai menempatkannya di sisi lain). Depan melihat tegak lurus bidang daerah. Mode presentasi membuka tampilan layar penuh: ← → menggeser pita, ↑ ↓ memutarnya.

05

Terkait

D16Jumlah Riemann
D18Teorema dasar kalkulus
E18Integral gandaDirencanakan

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Solid of revolution (Bahasa Inggris); OpenStax, Calculus Volume 1, 6.2 Determining Volumes by Slicing (Bahasa Inggris); OpenStax, Calculus Volume 1, 6.3 Volumes of Revolution: Cylindrical Shells (Bahasa Inggris).