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微积分 · 旋转体

旋转体

旋转体是平面区域绕同一平面内的一条轴旋转一周扫出的立体。拖动一根细条：垂直于轴时它扫出一个平环，平行于轴时扫出一个柱面，两种加法得到同一个体积。

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旋转体与本页画面

旋转体是平面区域绕同一平面内的一条直线（旋转轴）旋转一周扫出的立体。本页把轴限制在区域外，允许接触边界。它的体积由薄片累加而成，有两种切法：垂直于轴切，每一片是圆盘或平环（圆盘法、垫圈法）；平行于轴切，每一片是圆柱面（柱壳法）。本页有六个区域，可以绕水平轴或竖直轴旋转，其中有圆环面、圆锥和“加百列号角”。

同一个体积，两种加法，以及帕普斯定理
V=∫π(R2−r2)dx=∫2πρ h(ρ) dρ=∬D2πρ dA=2πρˉ AV = \int \pi\left(R^2 - r^2\right) dx = \int 2\pi\rho\, h(\rho)\, d\rho = \iint_{D} 2\pi\rho \, dA = 2\pi\bar\rho\, A

细条没有厚度。它垂直于轴时扫出一个平环，面积π(R2−r2)\pi(R^2 - r^2)，其中RR、rr是从轴量到区域远边和近边的距离；r=0r = 0时平环就是圆盘。它平行于轴、离轴ρ\rho、长hh时，扫出面积为2πρh2\pi\rho h的圆柱面。三维视图下面的图画的是这个面积随细条位置的变化：曲线下的面积就是体积，到细条为止的黄色部分是已经累加的体积。

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为什么两种切法体积相同

  • 区域里离轴ρ\rho的一小块，转一周走过长2πρ2\pi\rho的圆。垂直于轴的细条上，小块离轴从rr到RR都有，∫rR2πρ dρ=π(R2−r2)\int_r^R 2\pi\rho\,d\rho = \pi(R^2-r^2)。按“展开截片”，平环的每一圈被拉直，叠成上下底为2πr2\pi r、2πR2\pi R的梯形：面积不变，形状变了。
  • 平行于轴的细条上，小块离轴一样远，所以它扫出的圆柱面面积是2πρh2\pi\rho h；沿一条母线剪开摊平，是2πρ×h2\pi\rho \times h的矩形。两种方法把同一堆小块按两种顺序加起来：它们是同一个二重积分的两种积分次序。
  • 均匀薄片的质心（形心）到轴的距离是ρˉ=1A∬Dρ dA\bar\rho = \frac{1}{A}\iint_D \rho\,dA，因此V=2πρˉAV = 2\pi\bar\rho A（帕普斯–古尔丁定理）。轴再往外挪dd，体积正好多2πdA2\pi d A。
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容易看错的地方

  • 细条和它扫出的一片都画成没有厚度：这里没有步长Δx\Delta x，体积是精确的积分，不是薄片之和（有厚度的薄片见黎曼和一页）。玻璃上很淡的线只用来显示形状。
  • 平环面积是πR2−πr2\pi R^2 - \pi r^2，不是π(R−r)2\pi(R-r)^2。绕y=−1y = -1旋转时外半径是f(x)+1f(x)+1，不是f(x)f(x)。
  • 体积是精确值：每个区域的面积和一阶矩都有闭式，由帕普斯定理得到体积。“已累加”的体积是数值积分的结果，标“≈”。y=1/xy = 1/x下方的区域，面积ln⁡b\ln b无限增大，体积π(1−1/b)\pi(1 - 1/b)却始终小于π\pi。
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操作

  • 在三维视图里或面积图上任意处拖动细条；绕轴拖动它扫过部分的前缘；拖动旋转轴，它碰到区域就停，经过整数和半整数时会吸住（数值键可以把它放到区域另一侧）。“正视”正对区域所在的平面。“演示模式”打开全屏视图：← →移动细条，↑ ↓转动细条。
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相关概念

延伸阅读：维基百科：旋转体；OpenStax：Calculus Volume 1, 6.2 Determining Volumes by Slicing（英文）；OpenStax：Calculus Volume 1, 6.3 Volumes of Revolution: Cylindrical Shells（英文）。