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微积分 · 微积分基本定理

微积分基本定理

微积分基本定理说明，求导是积分的逆运算：若f连续，积分上限函数A(x)=∫axf(t) dtA(x) = \int_a^x f(t)\,dt的导数是A′(x)=f(x)A'(x) = f(x)，由此∫abf(t) dt=F(b)−F(a)\int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a)，F是f的任一原函数。

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微积分基本定理与本页画面

微积分基本定理把导数和积分联系起来。第一部分：若ff在包含aa的区间上连续，则积分上限函数（变上限积分）

第一部分
A(x)=∫axf(t) dt满足A′(x)=f(x).A(x) = \int_a^x f(t)\,dt \quad\text{满足}\quad A'(x) = f(x).

A(x)A(x)也常记作Φ(x)\Phi(x)。由此得到第二部分，即牛顿–莱布尼茨公式：若FF是ff的任一原函数，则F−AF - A的导数为0，是一个常数，于是

第二部分
∫abf(t) dt=F(b)−F(a).\int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a).

上方是ff的图像，阴影从下限aa延伸到上限x；下方是A的图像，与上方共用同一条横轴。在xx处，上方蓝色线段是高度f(x)。ff在xx处连续时，下方蓝色切线的斜率正是这个数：两幅图的纵向比例相同，切线走一个单位升高的那段蓝线，和上方的蓝线一样长。ff跳跃处没有切线，图中用虚线画出左右两侧的斜率。xx旁宽为Δx的细条使面积增加ΔA≈f(x) Δx\Delta A \approx f(x)\,\Delta x，所以ΔA/Δx→f(x)\Delta A / \Delta x \to f(x)：读数条写出这个商；下方细条在AA上的割线，斜率就是它，Δx→0\Delta x \to 0时转成切线。ff跳跃处，两侧的细条再窄也各保持自己的高。

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正确理解画面

  • 这里的面积带符号。f<0f < 0处的面积为负，AA下降；x<ax < a时积分方向相反，符号全部反过来。ff变号的零点是AA的极大值点或极小值点；不变号的零点不是。
  • 定理要求ff在xx处连续。ff跳跃的地方，AA仍然连续，但出现一个角：左右两侧的斜率分别是ff的左右极限，A′(x)A'(x)不存在。本页的阶跃函数是分段积分的；跨过跳跃点，不存在一个在整个区间上成立的原函数。
  • 改变aa只是加上一个常数：A(x)=F(x)−F(a)A(x) = F(x) - F(a)。ff连续时，积分上限函数都是原函数，但原函数不一定是积分上限函数：对f=cos⁡f = \cos，sin⁡x+5\sin x + 5不可能写成∫axcos⁡t dt\int_a^x \cos t\,dt，因为那需要sin⁡a=−5\sin a = -5。
  • 字母tt只是积分变量；xx是面积停下的位置。本页的数值由面积的公式F(x)−F(a)F(x) - F(a)算出（阶跃函数分段计算），而不是数值求和；e−t2e^{-t^2}的公式用到误差函数erf⁡\operatorname{erf}。
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用途

  • 计算定积分：找到任一原函数，作差即可，不必求黎曼和的极限。
  • 累积量：位移是速度的积分，位移的变化率就是速度本身（路程是速率∣v∣|v|的积分）。
  • 定义新函数：ln⁡x=∫1xdtt\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}；∫0xe−t2 dt=π2erf⁡x\int_0^x e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf} x不能用初等函数表示，定理照样给出它的导数e−x2e^{-x^2}。
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操作

  • 在任一图像上横向拖动，移动xx；拖动上方横轴上的aa标记，移动下限。“积分限”一区里两者各有一只滚轮细调，下面是常用值的键，给出精确值（π就是π）。
  • “细条”一区：对数推子调宽度Δx\Delta x，从1到0.0001（键入可到0.000001）；拨杆把细条放在xx的右侧、左侧或两侧。按“Δx → 0”，细条每级窄到十分之一，每级停一下，到底就停在那里；在底部再按，从0.5重新开始。
  • “演示模式”打开适合投影的全屏视图（空格 = Δx → 0，↑ ↓让细条宽十倍或窄十倍，← →移动xx，H隐藏AA尚未画出的部分、切线和斜率）。
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相关概念

延伸阅读：维基百科：微积分基本定理；OpenStax：Calculus Volume 1, 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus（英文）。