黎曼和：交互演示

01

黎曼和与本页画面

黎曼和用来近似 $f$ 在 $[a, b]$ 上的积分：把区间分成若干小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ ，在每个小区间里取一点 $x_i^*$ ，把 $f(x_i^*)\,\Delta x_i$ 加起来。本页把区间 $n$ 等分，每一段一样宽：

黎曼和

S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x, \qquad \Delta x = \frac{b-a}{n}.

一般的定义允许小区间不等宽、取点任意，并在最宽的小区间宽度 $\lambda = \max \Delta x_i \to 0$ 时取极限；本页等分， $\lambda \to 0$ 就是 $n \to \infty$ 。

每个黄色矩形立在一个小区间上，高到 $f(x_i^*)$ ，也就是曲线上的黄点； $S_n$ 是这些矩形的有向面积之和：在x轴下方的矩形按负值计入，矩形也可能高出曲线或够不到曲线。“方法”决定取哪一点：左端点 $x_{i-1}$ 、右端点 $x_i$ 或中点。梯形和改用弦连接 $f(x_{i-1})$ 和 $f(x_i)$ ，它等于左、右端点和的平均：

梯形和

T_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2}\,\Delta x = \frac{L_n + R_n}{2}.

按n → ∞会让 $n$ 逐次加倍到 $n = 256$ ，每一块一分为二（ $n$ 不是2的幂时，第一步先升到下一个2的幂）。对可积函数，这些和趋于蓝色显示的定积分：

定积分

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n = F(b) - F(a).

本页的定积分由原函数 $F$ 精确算出，并不是用很大的 $n$ 求和得到的近似值；误差就是 $S_n$ 减去这个值。

02

值得注意的地方

面积有正负。 $f < 0$ 的地方，小块挂在x轴下方，用斜线表示，按负值计入。在 $[0, 2\pi]$ 上， $\sin x$ 的两拱正好抵消，定积分为0。
递增函数的左端点和偏小、右端点和偏大；递减函数正好相反。定积分夹在两者之间。
误差缩小的快慢取决于方法。对光滑函数， $n$ 足够大时，左、右端点和的误差近似为 $C/n$ ，中点和与梯形和的误差近似为 $C/n^2$ ，所以每加倍一次，误差最终减半或缩小为四分之一。开始几步的倍数可能不同（ $x^2$ 在 $[0, 1]$ 上的左端点和第一步是1.6）；首项抵消时误差下降得更快： $x^2$ 在 $[-1, 1]$ 上的左、右端点和误差已经按 $1/n^2$ 下降。读数条中间的误差图两个坐标都是对数刻度，这个倍数体现为线的坡度：坡度是倍数以2为底的对数，倍数2对应坡度1，倍数4对应坡度2。左、右端点一束缓坡，中点、梯形约陡一倍；首项抵消时例外。
中点和与梯形和的误差通常符号相反。对 $f(x) = x^2$ ，不论 $n$ 是多少，中点和的误差恰好是梯形和误差的 $-\tfrac12$ 。
定积分的定义允许小区间不等长、在每个小区间里任意取点；本页画的是等分、按固定规则取点的特殊情形。定义要求最长的小区间趋于0时，无论怎样分割、怎样取点，极限都相同。
严格说梯形和不是黎曼和（每个小区间没有单一的取点），但它是左、右端点和的平均，极限相同。数值积分里的矩形法和梯形法，就是这几种和。

03

操作

拖动虚线 $x = a$ 、 $x = b$ 或它们在底边上的标记，也可以转“区间”下的两个滚轮，或直接输入端点，π、2π、π/2和e都能识别。滚轮下面的按键给出精确的端点。
“方法”的按键决定取哪一点；每颗键下面写着这种方法在当前 $n$ 下的和与误差，四种方法一眼就能比。和与定积分之间的小图画出四种方法的误差随 $n$ 的变化。
旋钮把 $n$ 设成1、2、4 … 256，每加倍一次一档；聚焦后按方向键到上一档或下一档。其他的 $n$ （最大10000）可以直接输入。“n → ∞”让 $n$ 逐次加倍到256（不是2的幂时先升到下一个2的幂），停在那里；在256时再按，从1重新开始。“演示模式”打开适合投影的全屏视图（空格运行n → ∞，← →让n减半、加倍，H隐藏答案）。

04

黎曼和与本页画面

值得注意的地方

操作

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