مجسم الدوران

مجسمات الدوران في هذا التصوّر

لماذا تعطي الطريقتان الحجم نفسه؟

• تقطع قطعة صغيرة من المنطقة على مسافة $\rho$ من المحور دائرةً طولها $2\pi\rho$. يحتوي الشريط العمودي على المحور قطعًا عند كل مسافة من $r$ إلى $R$، و$\int_r^R 2\pi\rho\,d\rho = \pi(R^2-r^2)$. يفرد خيار فرد المقطع كل دائرة في الحلقة إلى مستقيم: فتتراص لتشكّل شبه منحرف ضلعاه المتوازيان $2\pi r$ و$2\pi R$؛ له المساحة نفسها، لكن شكله مختلف.
• يحتوي الشريط الموازي للمحور قطعًا تقع كلها على المسافة نفسها، ولذلك فإن مساحة سطحه الأسطواني $2\pi\rho h$؛ وعند شقه على امتداد خط وفرده يصبح مستطيلًا أبعاده $2\pi\rho \times h$. تجمع الطريقتان القطع نفسها بترتيبين: إنهما تكامل مزدوج واحد، يُحسب بأي من الترتيبين.
• يقع المركز الهندسي (مركز كتلة صفيحة متجانسة) على مسافة $\bar\rho = \frac{1}{A}\iint_D \rho\,dA$ من المحور، ولذلك $V = 2\pi\bar\rho A$ (بابوس–غولدين). إبعاد المحور مسافة إضافية $d$ يزيد الحجم بمقدار $2\pi d A$ بالضبط.

لتجنب سوء قراءة الرسم

• يُرسم الشريط ومقطعه بلا سمك: لا يمثل أي جزء هنا خطوة $\Delta x$، والحجم تكامل دقيق، لا مجموع عدد من القطع الرفيعة (المقاطع ذات السمك المحدود في صفحة مجموع ريمان). الخطوط الخافتة على السطح الزجاجي تُظهر شكله فحسب.
• مساحة الحلقة $\pi R^2 - \pi r^2$، وليست $\pi(R-r)^2$. عند الدوران حول $y = -1$، يكون نصف القطر الخارجي $f(x)+1$، وليس $f(x)$.
• الأحجام دقيقة: مساحة كل منطقة وعزومها الأولى ذات صيغ مغلقة، وتعطي مبرهنة بابوس الحجم منها. يُحسب الحجم المجموع حتى الآن عدديًا وتسبقه العلامة ≈. تحت $y = 1/x$، تنمو المساحة $\ln b$ بلا حد، بينما يظل الحجم $\pi(1 - 1/b)$ أقل من $\pi$.

أدوات التحكم

• اسحب الشريط في المشهد أو في أي موضع على الرسم؛ واسحب حافته الدوارة حول المحور؛ واسحب المحور، الذي يتوقف عند المنطقة ويلتقط الأعداد الصحيحة وأنصافها (تنقله مفاتيح القيم إلى الجانب الآخر). ينظر خيار أمامي مباشرة إلى مستوى المنطقة. يفتح وضع العرض عرضًا بملء الشاشة: يحرك ← → الشريط، ويديره ↑ ↓.

موضوعات ذات صلة