مجموع ريمان: تصوّر تفاعلي

01

مجموع ريمان في هذا التصوّر

يقرّب مجموع ريمان تكامل $f$ على $[a, b]$ . قسّم الفترة إلى فترات جزئية $[x_{i-1}, x_i]$ ، واختر نقطة عينة $x_i^*$ في كل منها، ثم اجمع $f(x_i^*)\,\Delta x_i$ . تستخدم الصفحة $n$ فترة جزئية متساوية، فيكون لكل جزء العرض نفسه:

مجموع ريمان

S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x, \qquad \Delta x = \frac{b-a}{n}.

يسمح التعريف العام بفترات جزئية مختلفة العرض وأي نقطة عينة في كل منها، ويأخذ النهاية حين يؤول عرض أوسعها، $\lambda = \max \Delta x_i$ ، إلى 0؛ ومع فترات جزئية متساوية كما هنا، تكون $\lambda \to 0$ مكافئة لـ $n \to \infty$ .

يقوم كل مستطيل أصفر على فترة جزئية ويصل إلى $f(x_i^*)$ ، النقطة الصفراء على المنحنى؛ ويجمع $S_n$ مساحاتها الموقّعة، فيُحسب المستطيل تحت محور x سالبًا، وقد يعلو المستطيل المنحنى أو يقصر عنه. تحدّد القاعدة موضع نقطة العينة: الطرف الأيسر $x_{i-1}$ أو الأيمن $x_i$ أو المنتصف. أما مجموع شبه المنحرف فيصل $f(x_{i-1})$ و $f(x_i)$ بوتر، ويساوي متوسط المجموعين الأيسر والأيمن:

مجموع شبه المنحرف

T_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2}\,\Delta x = \frac{L_n + R_n}{2}.

يضاعف n → ∞ القيمة $n$ خطوة بخطوة حتى $n = 256$ ، فينقسم كل جزء إلى اثنين (إذا لم تكن $n$ قوةً للعدد 2، ترفعها الخطوة الأولى إلى القوة التالية). للدالة القابلة للتكامل، تقترب المجاميع من التكامل المحدد، المعروض بالأزرق:

التكامل المحدد

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n = F(b) - F(a).

تستخرج الصفحة التكامل بدقة من دالة أصلية $F$ ، ولا تستخرجه أبدًا من مجموع ذي $n$ كبيرة؛ والخطأ هو $S_n$ ناقص تلك القيمة.

02

ما الذي يمكنك ملاحظته؟

المساحة موقّعة. حيث $f < 0$ يمتد الجزء تحت محور x؛ ويُخطّط ويُحسب سالبًا. على $[0, 2\pi]$ يلغي قوسا $\sin x$ أحدهما الآخر، ويكون التكامل 0.
للدالة المتزايدة يكون المجموع الأيسر أقل مما ينبغي والأيمن أكبر؛ وللمتناقصة يحدث العكس. يقع التكامل بينهما.
تعتمد سرعة تقلّص الخطأ على القاعدة. لدالة ملساء وقيمة $n$ كبيرة، يسلك خطآ اليسار واليمين نمط $C/n$ ، وخطآ المنتصف وشبه المنحرف نمط $C/n^2$ ، لذا تنصّفهما كل مضاعفة أو تقسمهما على أربعة في النهاية. قد يختلف العامل في البداية (1.6 لأول مجاميع اليسار لـ $x^2$ على $[0, 1]$ )، وعندما يُلغى الحد الرئيسي ينخفض الخطأ أسرع: للدالة $x^2$ على $[-1, 1]$ يسلك خطآ اليسار واليمين نمط $1/n^2$ بالفعل. لمخطط الخطأ في شريط القراءات مقياسان لوغاريتميان، فيظهر العامل في مقدار ميل كل خط: لوغاريتمه للأساس 2، بمقدار ميل 1 للعامل 2، و2 للعامل 4. ينخفض اليسار واليمين تدريجيًا، والمنتصف وشبه المنحرف بنحو ضعف الميل، إلا حيث يُلغى الحد الرئيسي.
عادةً تكون إشارتا خطأ المنتصف وشبه المنحرف متعاكستين. للدالة $f(x) = x^2$ يساوي خطأ المنتصف $-\tfrac12$ من خطأ شبه المنحرف بالضبط، لكل $n$ .
يسمح تعريف التكامل بأجزاء غير متساوية وأي نقطة عينة في كل منها؛ والأجزاء المتساوية بقاعدة ثابتة حالة خاصة مرسومة هنا. يجب أن تكون النهاية واحدة لكل هذه الاختيارات عندما يصغر أوسع جزء إلى 0.
بدقة، مجموع شبه المنحرف ليس مجموع ريمان (لا توجد نقطة عينة واحدة لكل جزء)، لكنه كمتوسط المجموعين الأيسر والأيمن له النهاية نفسها. قاعدتا المستطيلات وشبه المنحرف للتكامل العددي هما هذه المجاميع.

03

أدوات التحكم

اسحب الخطين المنقّطين $x = a$ و $x = b$ أو علامتيهما على الحافة السفلية، أو أدر العجلتين تحت الفترة، أو اكتب الطرفين: تُفهم π و2π وπ/2 وe. تضبطهما المفاتيح تحت العجلتين على قيم دقيقة.
تختار مفاتيح القاعدة موضع نقطة العينة؛ وتحت كل مفتاح مجموع قاعدته وخطؤه عند $n$ الحالية، فتُقارن القواعد الأربع بنظرة واحدة. يعرض المخطط بين المجموع والتكامل مقدار الخطأ مقابل $n$ للقواعد الأربع.
يضبط المقبض $n$ على 1 و2 و4 … 256، محطة لكل مضاعفة؛ وتنقله مفاتيح الأسهم إلى المحطة التالية. يمكن كتابة أي $n$ أخرى حتى 10 000. يضاعف n → ∞ القيمة $n$ خطوة بخطوة حتى 256 (أولًا إلى قوة 2 التالية) ويبقى هناك؛ والضغط عند 256 يعيده إلى 1. يفتح وضع العرض عرضًا بملء الشاشة لأجهزة العرض (يشغّل مفتاح المسافة n → ∞، وينصّف ← → قيمة n ويضاعفها، ويخفي H النتائج).

04

موضوعات ذات صلة

D18المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل
D01النهاية
D34المتسلسلةقيد الإعداد
E18التكامل المزدوجقيد الإعداد

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Riemann sum (الإنجليزية); OpenStax, Calculus Volume 1, 5.1 Approximating Areas (الإنجليزية); OpenStax, Calculus Volume 2, 3.6 Numerical Integration (الإنجليزية).