المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل: تصوّر تفاعلي

01

المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل في هذا التصوّر

تربط المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل بين المشتقة والتكامل. ينص جزؤها الأول على أنه إذا كانت $f$ متصلة على فترة تحتوي $a$ ، فإن دالة المساحة (وتُسمّى أيضًا دالة التراكم، أو تكاملًا بحد علوي متغيّر)

الجزء الأول

A(x) = \int_a^x f(t)\,dt \quad\text{مشتقتها}\quad A'(x) = f(x)\text{.}

تُكتب $A(x)$ أيضًا $\Phi(x)$ . ويتبع الجزء الثاني: إذا كانت $F$ أي دالة أصلية لـ $f$ ، فإن مشتقة $F - A$ تساوي 0، لذا فهي ثابتة، ومن ثم

الجزء الثاني

\int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a).

الرسم العلوي هو $f$ ؛ وتمتد المنطقة المظللة من الحد السفلي $a$ إلى الحد العلوي x. الرسم السفلي هو A، على المحور الأفقي نفسه. عند $x$ ، تمثّل القطعة الزرقاء في الأعلى الارتفاع f(x). حيث تكون $f$ متصلة عند $x$ ، يكون للمماس الأزرق في الأسفل هذا الميل بالضبط: ارتفاعه مقابل وحدة أفقية واحدة هو القطعة الزرقاء نفسها، لأن الرسمين يستخدمان المقياس نفسه. حيث تقفز $f$ لا يوجد مماس؛ ويُرسم الميلان من الجهتين بخطين متقطعين. على الشريط الرفيع ذي العرض Δx بجوار $x$ ، تزيد المساحة بمقدار $\Delta A \approx f(x)\,\Delta x$ ، لذا $\Delta A / \Delta x \to f(x)$ : يعرض شريط القراءات خارج القسمة هذا، وفي الأسفل يتحول القاطع الموافق للشريط على $A$ ، الذي يكون هذا ميله، إلى مماس عندما $\Delta x \to 0$ . حيث تقفز $f$ يحتفظ الشريط في كل جهة بارتفاعه مهما أصبح رفيعًا.

02

كيف تقرأه بدقة؟

المساحة موقّعة. حيث $f < 0$ تُحسب المنطقة سالبة، فتهبط $A$ ؛ وحيث $x < a$ يسير التكامل بالعكس وتنقلب كل الإشارات. صفر $f$ الذي تتغيّر عنده إشارتها هو قمة أو قاع لـ $A$ ؛ أما الصفر دون تغيّر إشارة فليس كذلك.
تتطلب المبرهنة أن تكون $f$ متصلة عند $x$ . حيث تقفز $f$ تبقى $A$ متصلة لكن بها زاوية: الميلان من الجهتين هما نهايتا $f$ من الجهتين، ولا توجد $A'(x)$ . للدالة الدرجية هنا، تُحسب $A$ بالتكامل جزءًا جزءًا؛ ولا تصلح دالة أصلية واحدة عبر القفزة.
يضيف تغيير $a$ ثابتًا: $A(x) = F(x) - F(a)$ . عندما تكون $f$ متصلة تكون كل دالة مساحة دالة أصلية، لكن ليست كل دالة أصلية دالة مساحة: للدالة $f = \cos$ ، لا يمكن أن تساوي $\sin x + 5$ التعبير $\int_a^x \cos t\,dt$ ، لأن ذلك يتطلب $\sin a = -5$ .
الحرف $t$ مجرد متغير التكامل؛ و $x$ هو الموضع الذي تنتهي عنده المساحة. تأتي قيم هذه الصفحة من صيغ المساحة — $F(x) - F(a)$ ، وجزءًا جزءًا للدالة الدرجية — لا من مجاميع عددية. للدالة $e^{-t^2}$ تستخدم الصيغة دالة الخطأ $\operatorname{erf}$ .

03

أين تُستخدم؟

حساب التكاملات المحددة: أوجد أي دالة أصلية ثم اطرح قيمتي الطرفين، بدلًا من أخذ نهاية مجاميع ريمان.
التراكم: الإزاحة تكامل السرعة المتجهة، ومعدل تغيّرها هو السرعة المتجهة نفسها. (المسافة المقطوعة هي تكامل مقدار السرعة $|v|$ .)
تعريف دوال جديدة: $\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}$ ، و $\int_0^x e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf} x$ ، التي لا تُعبَّر بصيغة من دوال ابتدائية — لكن المبرهنة تعطي مشتقتها، $e^{-x^2}$ .

04

أدوات التحكم

اسحب على أي من الرسمين لتحريك $x$ ، واسحب علامة $a$ على المحور العلوي لتحريك الحد السفلي؛ تحت حدّا التكامل لكل منهما عجلة للخطوات الدقيقة ومفاتيح للقيم الشائعة، تضبطها بدقة (تبقى π هي π).
تحت شريط رفيع يضبط منزلق لوغاريتمي العرض $\Delta x$ من 1 إلى 0.0001 (وبالكتابة حتى 0.000001)، ويضع ذراع الشريط يمين $x$ أو يساره أو على الجانبين. يجعل Δx → 0 الشريط أضيق عشر مرات في كل خطوة، ويتوقف عند كل منها ثم يبقى عند النهاية؛ والضغط عليه هناك يعيده من 0.5.
يفتح وضع العرض عرضًا بملء الشاشة لأجهزة العرض (يشغّل مفتاح المسافة Δx → 0، ويجعل ↑ ↓ الشريط أعرض أو أضيق عشر مرات، ويحرّك ← → قيمة $x$ ، ويخفي H بقية $A$ الباهتة ومماسها وميلها).

05

موضوعات ذات صلة

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Fundamental theorem of calculus (الإنجليزية); OpenStax, Calculus Volume 1, 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (الإنجليزية).