Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Der Hauptsatz in dieser Visualisierung

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• Die Fläche zählt mit Vorzeichen. Bei $f < 0$ zählt sie negativ, sodass $A$ fällt; bei $x < a$ läuft das Integral rückwärts und alle Vorzeichen kehren sich um. Eine Nullstelle von $f$ mit Vorzeichenwechsel ist ein Hoch- oder Tiefpunkt von $A$; eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel ist es nicht.
• Der Satz setzt voraus, dass $f$ bei $x$ stetig ist. Wo $f$ springt, bleibt $A$ stetig, hat aber einen Knick: Die einseitigen Steigungen entsprechen den einseitigen Grenzwerten von $f$, und $A'(x)$ existiert nicht. Für die hier verwendete Sprungfunktion wird $A$ stückweise integriert; keine einzelne Stammfunktion gilt über den Sprung hinweg.
• Eine Änderung von $a$ addiert eine Konstante: $A(x) = F(x) - F(a)$. Ist $f$ stetig, ist jede Flächenfunktion eine Stammfunktion, aber nicht jede Stammfunktion eine Flächenfunktion: Für $f = \cos$ ist $\sin x + 5$ niemals $\int_a^x \cos t\,dt$, denn dafür müsste $\sin a = -5$ gelten.
• Der Buchstabe $t$ ist nur die Integrationsvariable; $x$ legt fest, wo die Fläche endet. Die Werte dieser Seite stammen aus Flächenformeln — $F(x) - F(a)$, bei der Sprungfunktion stückweise — und nicht aus numerischen Summen. Für $e^{-t^2}$ verwendet die Formel die Fehlerfunktion $\operatorname{erf}$.

Anwendungen

• Bestimmte Integrale berechnen: Eine beliebige Stammfunktion finden und ihre Werte subtrahieren, statt den Grenzwert von Riemannsummen zu bilden.
• Akkumulation: Die Ortsänderung ist das Integral der gerichteten Geschwindigkeit; ihre Änderungsrate ist die Geschwindigkeit selbst. (Die zurückgelegte Strecke ist das Integral des Geschwindigkeitsbetrags $|v|$.)
• Neue Funktionen definieren: $\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}$ und $\int_0^x e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf} x$, das keine Darstellung durch elementare Funktionen besitzt. Der Satz liefert dennoch seine Ableitung $e^{-x^2}$.

Bedienung

• Ziehe in einem der Graphen, um $x$ zu bewegen, und an der Markierung $a$ auf der oberen Achse, um die untere Grenze zu verschieben. Unter Grenzen gibt es für beide ein Rad für Feinschritte und Tasten für häufige Werte, die exakt übernommen werden (π bleibt π).
• Unter Schmaler Streifen stellt ein logarithmischer Regler die Breite $\Delta x$ von 1 bis 0.0001 ein (per Eingabe bis 0.000001). Ein Hebel legt den Streifen rechts von $x$, links davon oder auf beide Seiten. Δx → 0 macht ihn schrittweise zehnmal schmaler, pausiert jeweils kurz und bleibt am Ende stehen; erneutes Drücken dort startet wieder bei 0.5.
• Der Präsentationsmodus öffnet eine Vollbildansicht für Projektoren (Leertaste startet Δx → 0, ↑ ↓ machen den Streifen zehnmal breiter oder schmaler, ← → verschieben $x$, H blendet den blassen Rest von $A$, seine Tangente und seine Steigung aus).

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