微積分の基本定理

この図で見る微積分の基本定理

正しく読み取るために

• 面積には符号があります。$f < 0$ の領域は負に数えるため $A$ は減少します。$x < a$ では積分の向きが逆になり、符号もすべて反転します。$f$ が符号を変える零点では $A$ に山や谷ができ、符号を変えない零点ではできません。
• 定理には $x$ での $f$ の連続性が必要です。$f$ が跳ぶ点では $A$ は連続ですが角ができ、左右の傾きは $f$ の左右の極限となり、$A'(x)$ は存在しません。ここでの階段関数では $A$ を区間ごとに積分して求めます。跳びをまたいで使える1つの原始関数はありません。
• $a$ を変えると定数が加わります：$A(x) = F(x) - F(a)$。$f$ が連続なら、すべての面積関数は原始関数ですが、すべての原始関数が面積関数になるわけではありません。$f = \cos$ の場合、$\sin x + 5$ はどの $\int_a^x \cos t\,dt$ とも一致しません。そのためには $\sin a = -5$ が必要になるからです。
• 文字 $t$ は積分変数にすぎず、$x$ は面積を数える終点です。このページの値は数値的な和ではなく、面積の公式 $F(x) - F(a)$ から求めます（階段関数では区間ごと）。$e^{-t^2}$ の公式には誤差関数 $\operatorname{erf}$ を使います。

用途

• 定積分の計算：リーマン和の極限を取る代わりに、原始関数を1つ求めて両端の値の差を取れます。
• 量の蓄積：変位は速度の積分であり、その変化率は速度そのものです。（移動距離は速さ $|v|$ の積分です。）
• 新しい関数の定義：$\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}$ や $\int_0^x e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf} x$。後者は初等関数の式では表せませんが、定理から導関数 $e^{-x^2}$ が分かります。

操作方法

• どちらのグラフでもドラッグすると $x$ が動き、上段の軸の $a$ の印を動かすと下端が変わります。積分区間では、それぞれ微調整用ホイールと主な値のキーが使え、値は厳密に設定されます（π は π のままです）。
• 細い帯では、対数フェーダーで幅 $\Delta x$ を1から0.0001まで設定します（入力なら0.000001まで）。レバーで $x$ の右、左、両側を選べます。Δx → 0は各段階で一時停止しながら帯を10分の1ずつ細くし、最後で止まります。そこで再度押すと0.5から始めます。
• プレゼンテーションモードではプロジェクター向けの全画面表示になります（スペースで Δx → 0 を実行、↑ ↓ で帯の幅を10倍または10分の1、← → で $x$ を移動、H で $A$ の薄い残りの部分と接線、傾きを非表示）。

関連項目