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微積分 · 導関数

導関数

導関数 f′ は、接線の傾きが存在する各 x で、f のグラフの接線の傾きを返します。そのグラフを f の下に表示します。f′ が正の区間で f は増加し、負の区間では減少します。f が微分可能な山や谷では f′ は0です。

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この図で見る導関数

ff の導関数は f′(x)f'(x) と書き（y′y'、dydx\frac{dy}{dx} とも書きます）、各 xx に、そこでの ff の微分係数、つまり xx におけるグラフの接線の傾きを対応させます。傾きが存在しない点では f′f' の値もありません。このページでは8つの関数について、ff と f′f' を同じ xx 目盛りで上下に描きます。

導関数
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

点 x0x_0 での微分係数を f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} とも書きます。x0x_0 を変数として動かすと導関数になり、このページの aa は x0x_0 に当たります。青い点 P は x=ax = a で ff 上にあり、そこに接線を引きます。接線の下の小さな三角形は横幅が1なので、その縦の変化量が接線の傾きです。同じ符号付きの数を、下段のグラフ独自の目盛りで、点 (a,f′(a))(a, f'(a)) までの黄色い棒として描きます。aa が動くと点はf′ のグラフをたどります。軌跡を描くで左から右へ描画します。

グラフ間の2行は増減表です。上段は ff が増加（↗）するか減少（↘）するか、下段は f′f' の符号（+ または −、f′=0f' = 0 なら0、f′f' が存在しない点では「なし」）を示します。

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注目するところ

  • f′>0f' > 0 の区間では ff が増加し、f′<0f' < 0 なら減少します。逆は同じ強さでは成り立ちません。x3x^3 は全体で増加しますが、f′(0)=0f'(0) = 0 です。区間内部の山や谷で ff が微分可能なら f′=0f' = 0 ですが、f′=0f' = 0 だけでは山や谷とは限りません（やはり0での x3x^3 が例です）。また、∣x∣|x| の角点のように f′f' が存在しない点でも山や谷になることがあります。
  • ff の曲がる向きが変わり（変曲点）、f′′f'' の符号が変わる点では、f′f' が極大または極小になります。sin⁡x\sin x の変曲点の下には cos⁡x\cos x の山や谷があり、そこで sin⁡x\sin x が最も急です。ただし、すべての変曲点でそうなるわけではありません。x3\sqrt[3]{x} は0に変曲点を持ちますが、接線が鉛直なので f′f' の値はありません。
  • 下段は ff の値ではなく傾きを表します。xx での高さが、そこで ff がどれだけ速く変化するかを示します。2つのグラフの縦目盛りは、それぞれが収まるよう個別に設定しています。
  • ∣x∣|x| の角点では f′f' が −1-1 から 11 に跳び、f′(0)f'(0) は存在しません。x2/3x^{2/3} の尖点では f′f' が左から −∞-\infty、右から +∞+\infty に近づきます。x3\sqrt[3]{x} の鉛直接線では両側から +∞+\infty に近づきます。いずれも0で連続ですが、そこで微分可能ではありません。
  • exe^x の導関数はそれ自身です。下段には上段と同じグラフが現れます。
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操作方法

  • P、f′f' 上の点、またはどちらかのグラフ上をドラッグすると aa が動きます。点の下のホイールや主な点のキーでも操作できます。軌跡を描くは P を左端から右端へ動かし、通った位置の f′f' を描きます。山、谷、変曲点、f′f' が存在しない点で一時停止し、増減表の名前が点灯します。最後に P は右端にとどまります。極値と変曲点は、ff の山、谷、変曲点から f′f' のグラフまで破線のガイドを引き、増減表に名前を表示します。
  • プレゼンテーションモードではプロジェクター向けの全画面表示になります（スペースで軌跡を描く、← → で aa を移動、H で f′f' のグラフを非表示。非表示中は P が通った位置だけに現れます）。
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関連項目

さらに読む: ウィキペディア: Derivative (英語); OpenStax, Calculus Volume 1, 3.2 The Derivative as a Function (英語).