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微積分 · 平均値の定理

平均値の定理

関数 f が [a, b] で連続、(a, b) で微分可能なら、a と b の間に、両端を結ぶ割線と接線が平行になる点 c が存在します：f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a)。

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この図で見る平均値の定理

平均値の定理（ラグランジュの平均値の定理）は、関数 ff が閉区間 [a,b][a, b] で連続、開区間 (a,b)(a, b) で微分可能なら、a<c<ba < c < b を満たし、次の等式が成り立つ点 cc が少なくとも1つ存在すると述べます。

平均値の定理
f′(c)=f(b)−f(a)b−a.f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

左辺は cc での接線の傾き、右辺は (a,f(a))(a, f(a)) と (b,f(b))(b, f(b)) を通る割線の傾き、つまり区間全体の ff の平均変化率です。この点を ξ\xi と書くこともあります。ロルの定理は f(a)=f(b)f(a) = f(b) の場合で、割線が水平となり f′(c)=0f'(c) = 0 です。このページでは滑らかな4関数と、仮定が破れる場合のある2関数を示します。∣x∣|x| は角点で微分できず、跳びのある関数は跳びを内部に含む区間で連続でも微分可能でもありません。

青い点 A、B は aa、bb の上の曲線上にあります。点をドラッグするか、x 軸上の青い線分を動かして区間全体を移動できます。2点を通る黄色い線が割線で、その傾きを mm とします。各青い点は cc を示します。接線は割線に平行で、点と割線を鉛直の破線で結びます。ff が滑らかなら、割線から測った曲線の高さの微分係数は各 cc で0です（そこで両者の傾きが等しいため）。下の傾きの帯では、青で f′(x)f'(x)、黄色い水平線で割線の傾き mm を描き、各 cc が交点になります。答えを隠すと動かせる接点が現れ、自分で cc を探せます。

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定理が述べていないこと

  • 定理が保証するのは cc が少なくとも1つあることで、ちょうど1つとは限りません。[−2,2][-2, 2] での x3−3xx^3 - 3x には2つ、[−6,6][-6, 6] での sin⁡x\sin x には4つあります。cc の位置も示しません。退化していない二次関数なら唯一の cc は必ず中点ですが、ほかの関数では区間内のどこにでもあり得ます。
  • 微分可能性が必要なのは区間の内部だけです。[0,4][0, 4] 上の x\sqrt{x} は0に鉛直接線を持ちますが、それでも c=1c = 1 が条件を満たします。
  • 仮定が破れた場合、定理からは何もいえません。[−1,2][-1, 2] 上の ∣x∣|x| に cc はなく、[0.5,1.5][0.5, 1.5] 上の跳ぶ関数にもありません。しかし同じ跳ぶ関数でも [0,2][0, 2] では、たまたま c=1.5c = 1.5 が存在します。
  • このページの点 cc は数値探索ではなく、各関数について f′(c)=f'(c) = 割線の傾き、という式を厳密に解いて求めます。
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用途

  • 平均の速さ：車が5分で10 km進むと平均は120 km/hです。移動距離が連続に変わり、その5分間の内部のすべての時刻で微分係数、つまり速さが存在するなら、どこかの瞬間に速さはちょうど120 km/hでした。区間平均の速さが制限を超えるなら、その間のどこかで制限速度を超えていたことになります。
  • 区間内のどこでも f′=0f' = 0 なら、ff はそこで定数です。同じ導関数を持つ2関数の差は定数なので、原始関数には + C+\,C が付きます。
  • 評価：区間で ∣f′∣≤M|f'| \le M なら ∣f(b)−f(a)∣≤M ∣b−a∣|f(b) - f(a)| \le M\,|b - a| です。また、この定理は微積分の基本定理の証明の一段階にも使われます。
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関連項目

さらに読む: ウィキペディア: Mean value theorem (英語); OpenStax, Calculus Volume 1, 4.4 The Mean Value Theorem (英語).