拉格朗日中值定理与本页画面
拉格朗日中值定理（微分中值定理之一）：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么至少有一点，，使得
当前
中值点
左边是处切线的斜率，右边是过和的割线斜率，也就是在这个区间上的平均变化率。这一点也记作。罗尔定理是的特殊情形：割线水平，。本页在四个光滑函数上演示定理，另有两个函数在某些区间上不满足条件：在角点处不可导；跳跃函数的区间内部含有跳跃点时，它在那里既不连续也不可导。
蓝色的点A、B在曲线上，横坐标分别是、，可以拖动；拖动横轴上的蓝色区间段，整个区间一起平移。过A、B的黄色直线是割线，斜率记作。每个蓝色的点标出一个中值点：那里的切线与割线平行，竖直虚线连到割线：光滑时，曲线与割线的高度差在每个处的导数为0（这里两者斜率相同）。图的下方是斜率图：蓝色曲线是，黄色水平线是割线斜率，每个都是一个交点。隐藏答案时，图上出现一个可以沿曲线移动的切点，可以自行寻找。
不要误读
- 定理保证至少有一个，不保证只有一个：在上有两个，在上有四个。定理也不说在哪里：对非退化的二次函数，唯一的总在区间中点；其他函数的可以在区间内任何位置。
- 可导只要求在开区间内成立。在上，0处的切线是竖直的，但仍然满足。
- 条件不满足时，定理什么也不保证。在上没有，跳跃函数在上也没有；但同一个跳跃函数在上恰好有。
- 本页的是对每个函数精确解方程“割线斜率”得到的，不是数值搜索的结果。
用途
- 平均速率：汽车5分钟行驶10公里，平均速率是每小时120公里。只要行驶的路程随时间连续变化，并且在这5分钟内每一时刻都有瞬时速率（路程对时间可导），就有某一时刻它的速率恰好是每小时120公里。所以区间测速测出平均速率超过限速时，车辆在某一时刻一定超速了。
- 如果在区间上处处，就是常数；导数相同的两个函数只差一个常数，这就是原函数后面要加的原因。
- 估计：如果区间上，那么。微积分基本定理的证明也要用到它。