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代数与函数 · 平均变化率

平均变化率

函数f在[a, b]上的平均变化率是(f(b) − f(a)) / (b − a)，即过两端点的割线的斜率。把[a, b]切成几段，它就是各段变化率按宽度加权的平均。

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平均变化率与本页画面

函数ff在区间[a,b][a, b]上的平均变化率是函数值的改变量除以自变量的改变量，即差商ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}。在图像上，它是过(a,f(a))(a, f(a))和(b,f(b))(b, f(b))的割线的斜率；对随时间走过的路程来说，它就是平均速率。本页把[a,b][a, b]切成至多八段，用五个函数比较整段和各段。

[a, b]上的平均变化率
ΔyΔx=f(b)−f(a)b−a=∑iΔxi mi∑iΔxi\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\sum_i \Delta x_i \, m_i}{\sum_i \Delta x_i}

分点a=x0<x1<⋯<xn=ba = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b把区间分成宽Δxi=xi−xi−1\Delta x_i = x_i - x_{i-1}的各段，每段有自己的变化率mi=Δyi/Δxim_i = \Delta y_i / \Delta x_i，即一条黄色细弦的斜率。图下方每段画成一根柱子：宽是Δxi\Delta x_i，高是mim_i，所以带符号的面积是Δxi mi=Δyi\Delta x_i \, m_i = \Delta y_i，就是柱子里写的数。这些面积加起来等于Δy\Delta y：在∑i(f(xi)−f(xi−1))\sum_i (f(x_i) - f(x_{i-1}))里，两端之间的每个函数值一正一负各出现一次，相互抵消。把总面积在[a,b][a, b]上摊平，得到高为Δy/Δx\Delta y / \Delta x的黄色实线：整段的变化率是各段变化率按宽度加权的平均。虚线是它们的直接平均1n∑imi\frac{1}{n} \sum_i m_i，不看宽度。

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值得注意的地方

  • 宽的柱子分量重。去程60 km用60 km/h，回程60 km用40 km/h，一共2.5小时：平均速率是120 ÷ 2.5 = 48 km/h，不是50，因为慢的那一程用的时间长。（平均速率用路程去除；平均速度用位移去除，往返的位移是0。）各段等宽时两条线一定重合；不等宽时也可能重合，例如一次函数，它每段的变化率都一样。
  • 各段等宽（宽hh）时，变化率有规律：一次函数各段相等；ax2+bx+cax^2 + bx + c每段比前一段多2ah2ah；bxb^x每段是前一段的bhb^h倍。“相邻比较”在相邻柱子之间写出差和比。
  • 平均变化率不是函数的平均值，而且只看两端：−x2+4x-x^2 + 4x在[0,4][0, 4]上升到4又降回来，这一段的平均变化率是0。整段为正时，某一段也可以是负的。
  • 柱子从左到右一根比一根高，说明这些弦组成的折线向上弯，不能推出曲线处处向上弯：x2+0.1sin⁡2πxx^2 + 0.1 \sin 2\pi x在分点0、1、2、3、4上照样得到柱子1、3、5、7，但在x=14x = \tfrac14处f′′=2−0.4π2≈−1.95f'' = 2 - 0.4\pi^2 \approx -1.95，向下弯。
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操作

  • 在图上或柱子的边上拖动端点a、b或分点，它们会吸在½的整数倍上；把分点拖到相邻分点上，两点合并。拨码盘设定段数，并把区间等分；“等分”把现有的各段变成一样宽；“分点”可以输入精确值，如1, 2.5或4/3。
  • “演示模式”打开适合投影的全屏视图（← →改变段数，H隐藏平均变化率）。
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相关概念

延伸阅读：OpenStax：Precalculus 2e, 1.3 Rates of Change and Behavior of Graphs（英文）；维基百科：Difference quotient（英文）。