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Analysis · Mittelwertsatz

Mittelwertsatz

Ist eine Funktion f auf [a, b] stetig und auf (a, b) differenzierbar, so gibt es eine Stelle c zwischen a und b, an der ihre Tangente parallel zur Sekante durch die Endpunkte ist: f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a).

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Der Mittelwertsatz in dieser Visualisierung

Der Mittelwertsatz, auch Mittelwertsatz von Lagrange, besagt: Ist eine Funktion ff auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b][a, b] stetig und auf dem offenen Intervall (a,b)(a, b) differenzierbar, dann gibt es mindestens eine Stelle cc mit a<c<ba < c < b, an der gilt:

Mittelwertsatz
f′(c)=f(b)−f(a)b−a.f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Links steht die Tangentensteigung bei cc, rechts die Steigung der Sekante durch (a,f(a))(a, f(a)) und (b,f(b))(b, f(b)), also die mittlere Änderungsrate von ff auf dem Intervall. Die Stelle wird auch ξ\xi genannt. Der Satz von Rolle ist der Fall f(a)=f(b)f(a) = f(b), bei dem die Sekante waagerecht ist und f′(c)=0f'(c) = 0 gilt. Die Seite zeigt den Satz an vier glatten Funktionen und an zwei, bei denen die Voraussetzungen fehlen können: ∣x∣|x| ist an seinem Knick nicht differenzierbar; die Sprungfunktion ist auf einem Intervall, das den Sprung im Inneren enthält, dort weder stetig noch differenzierbar.

Die blauen Punkte A und B liegen auf der Kurve über aa und bb. Ziehe sie oder verschiebe die blaue Strecke auf der x-Achse, um das ganze Intervall zu bewegen. Die gelbe Gerade durch sie ist die Sekante; ihre Steigung heiße mm. Jeder blaue Punkt markiert eine Stelle cc: Seine Tangente ist parallel zur Sekante, mit der ihn eine gestrichelte Senkrechte verbindet. Wo ff glatt ist, hat die Höhe der Kurve über der Sekante bei jedem cc die Ableitung null (beide haben dort dieselbe Steigung). Unter dem Graphen zeichnet der Steigungsstreifen f′(x)f'(x) blau und die Sekantensteigung mm als gelbe waagerechte Linie: Jedes cc ist ein Schnittpunkt. Bei ausgeblendeten Ergebnissen erscheint ein Tangentenpunkt, den du entlang der Kurve bewegen kannst, um cc selbst zu finden.

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Was der Satz nicht behauptet

  • Der Satz garantiert mindestens ein cc, nicht genau eines: x3−3xx^3 - 3x hat auf [−2,2][-2, 2] zwei, sin⁡x\sin x auf [−6,6][-6, 6] vier. Er sagt nicht, wo cc liegt: Bei einer echten quadratischen Funktion liegt das eindeutige cc immer in der Mitte; bei anderen Funktionen kann es irgendwo im Inneren liegen.
  • Differenzierbarkeit wird nur im Inneren des Intervalls verlangt. x\sqrt{x} hat auf [0,4][0, 4] bei 0 eine senkrechte Tangente; dennoch funktioniert c=1c = 1.
  • Fehlt eine Voraussetzung, macht der Satz keine Aussage. ∣x∣|x| hat auf [−1,2][-1, 2] kein cc, ebenso die Sprungfunktion auf [0.5,1.5][0.5, 1.5]. Dieselbe Sprungfunktion hat auf [0,2][0, 2] aber zufällig c=1.5c = 1.5.
  • Die Stellen cc werden auf dieser Seite für jede Funktion exakt aus f′(c)=f'(c) = Sekantensteigung berechnet, nicht durch numerische Suche gefunden.
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Anwendungen

  • Durchschnittsgeschwindigkeit: Ein Auto legt in 5 Minuten 10 km zurück, im Mittel 120 km/h. Ändert sich die zurückgelegte Strecke stetig und hat sie zu jedem Zeitpunkt im Inneren dieser 5 Minuten eine Ableitung, die Geschwindigkeit, dann betrug diese irgendwann genau 120 km/h. Liegt der Durchschnitt auf einem durch Kameras vermessenen Abschnitt über dem Tempolimit, wurde es also zu mindestens einem Zeitpunkt überschritten.
  • Gilt auf einem Intervall überall f′=0f' = 0, ist ff dort konstant. Zwei Funktionen mit derselben Ableitung unterscheiden sich um eine Konstante; deshalb steht bei einer Stammfunktion + C+\,C.
  • Abschätzungen: Gilt auf dem Intervall ∣f′∣≤M|f'| \le M, so folgt ∣f(b)−f(a)∣≤M ∣b−a∣|f(b) - f(a)| \le M\,|b - a|. Der Satz ist außerdem ein Schritt im Beweis des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.
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Verwandte Themen

Weiterführende Literatur: Wikipedia: Mean value theorem (Englisch); OpenStax, Calculus Volume 1, 4.4 The Mean Value Theorem (Englisch).