مبرهنة القيمة المتوسطة

مبرهنة القيمة المتوسطة في هذا التصوّر

ما الذي لا تقوله المبرهنة؟

• تضمن المبرهنة وجود $c$ واحدة على الأقل، لا واحدة بالضبط: للدالة $x^3 - 3x$ على $[-2, 2]$ نقطتان، ولـ $\sin x$ على $[-6, 6]$ أربع. ولا تحدّد موضع $c$: للدالة التربيعية غير المنحلّة تكون $c$ الوحيدة دائمًا في المنتصف، أما الدوال الأخرى فقد تقع في أي موضع داخلي.
• لا تُشترط قابلية الاشتقاق إلا داخل الفترة. للدالة $\sqrt{x}$ على $[0, 4]$ مماس رأسي عند 0، ومع ذلك تصلح $c = 1$.
• عندما تفشل فرضية، لا تصدر المبرهنة حكمًا. للدالة $|x|$ على $[-1, 2]$ لا توجد $c$، وكذلك للدالة ذات القفزة على $[0.5, 1.5]$؛ لكن للدالة ذات القفزة نفسها على $[0, 2]$ توجد مصادفةً $c = 1.5$.
• تُحل نقاط $c$ في هذه الصفحة بدقة من $f'(c) =$ميل القاطع لكل دالة، ولا تُوجد ببحث عددي.

أين تُستخدم؟

• متوسط السرعة: تقطع سيارة 10 كم في 5 دقائق، بمتوسط 120 كم/ساعة. إذا تغيّرت المسافة المقطوعة باستمرار وكانت لها مشتقة، هي السرعة، في كل لحظة داخل الدقائق الخمس، فلا بد أن سرعتها في لحظة ما كانت 120 كم/ساعة بالضبط. لذا فإن السائق الذي تجاوز متوسط سرعته على مقطع تقيس الكاميرات زمنه الحدَّ المسموح، قد تجاوزه في لحظة ما.
• إذا كانت $f' = 0$ في كل موضع على فترة، فإن $f$ ثابتة فيها؛ ودالتان لهما المشتقة نفسها تختلفان بثابت، ولهذا تحمل الدالة الأصلية $+\,C$.
• التقديرات: إذا كان $|f'| \le M$ على الفترة، فإن $|f(b) - f(a)| \le M\,|b - a|$. والمبرهنة أيضًا خطوة في برهان المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل.

موضوعات ذات صلة