Math

الجبر والدوال · متوسط معدل التغيّر

متوسط معدل التغيّر

متوسط معدل تغيّر f على [a, b] هو (f(b) − f(a)) / (b − a)، أي ميل القاطع المار بالطرفين. إذا قسّمت [a, b] إلى أجزاء، فهو متوسط معدلات الأجزاء المرجّح بعروضها.

01

متوسط معدل التغيّر في هذا التصوّر

متوسط معدل التغيّر لدالة ff على فترة [a,b][a, b] هو التغيّر في قيمتها مقسومًا على التغيّر في مدخلها: خارج قسمة الفروق ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}. وهو على الرسم ميل المستقيم القاطع المار بـ (a,f(a))(a, f(a)) و(b,f(b))(b, f(b)). وللمسافة المقطوعة مع الزمن، يكون متوسط السرعة. تقسّم هذه الصفحة [a,b][a, b] إلى ثمانية أجزاء على الأكثر وتقارن الكل بأجزائه، لخمس دوال.

متوسط معدل التغيّر على [a, b]
ΔyΔx=f(b)−f(a)b−a=∑iΔxi mi∑iΔxi\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\sum_i \Delta x_i \, m_i}{\sum_i \Delta x_i}

تُنشئ نقاط التقسيم a=x0<x1<⋯<xn=ba = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b أجزاءً بعروض Δxi=xi−xi−1\Delta x_i = x_i - x_{i-1}، لكل منها معدله mi=Δyi/Δxim_i = \Delta y_i / \Delta x_i، وهو ميل وتر أصفر رفيع. أسفل الرسم، يُمثّل كل جزء بعمود: عرضه Δxi\Delta x_i وارتفاعه mim_i، لذا فمساحته الموقّعة هي Δxi mi=Δyi\Delta x_i \, m_i = \Delta y_i، وهي العدد المكتوب داخله. مجموع المساحات يساوي Δy\Delta y، لأن كل قيمة بين الطرفين تظهر في ∑i(f(xi)−f(xi−1))\sum_i (f(x_i) - f(x_{i-1})) مرة بكل إشارة فتُلغى. توزيع المساحة الكلية بالتساوي على [a,b][a, b] يعطي الخط الأصفر المتصل عند الارتفاع Δy/Δx\Delta y / \Delta x: المعدل على الفترة كلها هو متوسط معدلات الأجزاء المرجّح بعروضها. أما الخط المتقطع فهو متوسطها الحسابي 1n∑imi\frac{1}{n} \sum_i m_i، الذي يتجاهل العروض.

02

ما الذي يمكنك ملاحظته؟

  • للعمود الأعرض وزن أكبر. قطع 60 كم بسرعة 60 كم/ساعة والعودة 60 كم بسرعة 40 كم/ساعة يستغرق 2.5 ساعة: متوسط السرعة هو 120 ÷ 2.5 = 48 كم/ساعة، وليس 50، لأن المرحلة الأبطأ تستغرق وقتًا أطول. (لحساب متوسط السرعة نقسم المسافة المقطوعة على الزمن؛ ولحساب متوسط السرعة المتجهة نقسم الإزاحة، وهي 0 في رحلة ذهاب وإياب، على الزمن.) إذا تساوت عروض الأجزاء انطبق الخطان دائمًا؛ وقد ينطبقان أيضًا دون ذلك، كما في الدالة الخطية التي تتساوى معدلات أجزائها كلها.
  • على أجزاء متساوية العرض hh، تتبع المعدلات نمطًا: تتساوى في الدالة الخطية؛ وللدالة ax2+bx+cax^2 + bx + c يختلف كل معدل عن سابقه بمقدار 2ah2ah؛ وللدالة bxb^x يساوي كل معدل bhb^h مرةً سابقه. يعرض قارن الفروق والنسب بين الأعمدة المتجاورة.
  • متوسط معدل التغيّر ليس متوسط قيمة ff، وهو يعتمد على الطرفين فقط: تصعد −x2+4x-x^2 + 4x إلى 4 على [0,4][0, 4] ثم تعود، لذا فمعدلها هناك 0. وقد يكون المعدل الكلي موجبًا مع وجود جزء ذي معدل سالب.
  • ارتفاع الأعمدة من اليسار إلى اليمين يعني أن الأوتار تنحني إلى أعلى، وليس أن المنحنى يفعل ذلك في كل موضع: تعطي x2+0.1sin⁡2πxx^2 + 0.1 \sin 2\pi x أعمدة بارتفاعات 1، 3، 5، 7 عند نقاط التقسيم 0، 1، 2، 3، 4، لكنها تنحني إلى أسفل عند x=14x = \tfrac14، حيث f′′=2−0.4π2≈−1.95f'' = 2 - 0.4\pi^2 \approx -1.95.
03

أدوات التحكم

  • اسحب الطرفين a وb أو إحدى نقاط التقسيم، على الرسم أو عند حواف الأعمدة؛ تستقر عند مضاعفات ½. إذا سحبت نقطة تقسيم فوق جارتها اندمجتا. تضبط عجلة الأرقام عدد الأجزاء وتقسّم الفترة بالتساوي؛ ويجعل متساوية الأجزاء الحالية متساوية؛ ويقبل حقل نقاط التقسيم قيمًا دقيقة، مثل 1, 2.5 أو 4/3.
  • يفتح وضع العرض عرضًا بملء الشاشة لأجهزة العرض (← → يغيّران عدد الأجزاء؛ وH يخفي متوسط معدل التغيّر).
04

موضوعات ذات صلة

للمزيد من القراءة: OpenStax, Precalculus 2e, 1.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (الإنجليزية); ويكيبيديا: Difference quotient (الإنجليزية).