Math

التفاضل والتكامل · الدالة المشتقة

الدالة المشتقة

تعطي الدالة المشتقة f′، عند كل x، ميل المماس لرسم f حيثما وُجد ذلك الميل. يقع رسمها أسفل f: على فترة تكون فيها f′ موجبة تتزايد f، وحيث تكون سالبة تتناقص f؛ وعند قمة أو قاع تكون فيه f قابلة للاشتقاق، تكون f′ مساوية لـ 0.

01

الدالة المشتقة في هذا التصوّر

الدالة المشتقة للدالة ff، وتُكتب f′(x)f'(x) (أو y′y' أو dydx\frac{dy}{dx})، تسند إلى كل xx مشتقة ff عنده: ميل المماس للرسم عند xx. وحيث لا يوجد ذلك الميل، لا تكون لـ f′f' قيمة. ترسم هذه الصفحة ff وf′f' إحداهما فوق الأخرى وبالمقياس نفسه لـ xx، لثماني دوال.

الدالة المشتقة
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

تُكتب أيضًا f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}، وهي المشتقة عند نقطة x0x_0؛ وبالسماح لـ x0x_0 بالتغيّر نحصل على الدالة المشتقة، وaa في هذه الصفحة هي x0x_0. تقع النقطة الزرقاء P على ff عند x=ax = a، مع مماسها. للمثلث الصغير تحت المماس امتداد أفقي قدره 1، لذا فإن ارتفاعه هو ميل المماس. يُرسم العدد الموقّع نفسه، وفق المقياس الخاص بالرسم السفلي، على هيئة عمود أصفر ينتهي عند النقطة (a,f′(a))(a, f'(a)). مع تحرّك aa تسير تلك النقطة على رسم f′؛ ويرسمه تتبّع من اليسار إلى اليمين.

الصفّان بين الرسمين هما جدول إشارة: يبيّن العلوي إن كانت ff تصعد (↗) أو تهبط (↘)، ويعطي السفلي إشارة f′f' (+ أو −، مع 0 حيث f′=0f' = 0 و«غير موجودة» حيث لا توجد f′f').

02

ما الذي يمكنك ملاحظته؟

  • على فترة يتحقق فيها f′>0f' > 0، تتزايد ff؛ وحيث f′<0f' < 0 تتناقص. أما العكس فأضعف: تتزايد x3x^3 في كل مكان، ومع ذلك f′(0)=0f'(0) = 0. القمة أو القاع داخل الفترة، حيث تكون ff قابلة للاشتقاق، تحقق f′=0f' = 0؛ لكن f′=0f' = 0 لا يضمن وجود قمة أو قاع (ومثال ذلك مجددًا x3x^3 عند 0)، وقد يقعان حيث لا توجد f′f'، كما عند زاوية ∣x∣|x|.
  • حيث يتغيّر اتجاه انحناء ff (نقطة انعطاف) وتتغيّر إشارة f′′f''، تكون لـ f′f' قيمة عظمى أو صغرى محلية. في sin⁡x\sin x تقع نقاط الانعطاف فوق قمم وقيعان cos⁡x\cos x، حيث تبلغ sin⁡x\sin x أشد ميلها. لكن ذلك لا ينطبق على كل نقطة انعطاف: للدالة x3\sqrt[3]{x} نقطة انعطاف عند 0، ومماسها هناك رأسي وليس لـ f′f' قيمة.
  • يعرض الرسم السفلي الميول، لا قيم ff: ارتفاعه عند xx يبيّن سرعة تغيّر ff هناك. لكل رسم مقياس رأسي خاص اختير ليتّسع الرسم له.
  • عند زاوية ∣x∣|x|، تقفز f′f' من −1-1 إلى 11 ولا توجد f′(0)f'(0). وعند النقطة الحادة لـ x2/3x^{2/3}، تؤول f′f' إلى −∞-\infty من اليسار وإلى +∞+\infty من اليمين؛ وعند المماس الرأسي لـ x3\sqrt[3]{x} تؤول إلى +∞+\infty من الجانبين. كل هذه الدوال متصلة عند 0، لكنها غير قابلة للاشتقاق هناك.
  • exe^x مشتقة نفسها: يكرّر الرسم السفلي الرسم العلوي.
03

أدوات التحكم

  • اسحب P، أو النقطة على f′f'، أو أي موضع على أحد الرسمين لتحريك aa؛ أو أدر العجلة تحت النقطة واضغط النقاط المميّزة. يحرّك تتبّع النقطة P من الطرف الأيسر إلى الأيمن ويرسم f′f' خلفها، مع توقف وجيز عند كل قمة وقاع ونقطة انعطاف ونقطة لا توجد فيها f′f'، بينما يضيء اسمها في جدول الإشارة؛ وتبقى P عند الطرف الأيمن. يرسم القيم القصوى ونقاط الانعطاف خطوطًا إرشادية متقطعة تمرّ بقمم ff وقيعانها ونقاط انعطافها، نزولًا عبر رسم f′f'، ويسمّيها في جدول الإشارة.
  • يفتح وضع العرض عرضًا بملء الشاشة لأجهزة العرض (مفتاح المسافة يبدأ التتبّع، و← → يحرّكان aa، وH يخفي رسم f′f'؛ ثم لا يظهر إلا حيث مرّت P).
04

موضوعات ذات صلة

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Derivative (الإنجليزية); OpenStax, Calculus Volume 1, 3.2 The Derivative as a Function (الإنجليزية).