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Analysis · Ableitungsfunktion

Ableitungsfunktion

Die Ableitungsfunktion f′ gibt für jedes x die Steigung der Tangente an den Graphen von f an, sofern diese existiert. Ihr Graph liegt unter dem von f: Auf einem Intervall mit positivem f′ steigt f, bei negativem f′ fällt f. An einem Hoch- oder Tiefpunkt, an dem f differenzierbar ist, gilt f′ = 0.

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Ableitungsfunktion in dieser Visualisierung

Die Ableitungsfunktion von ff, geschrieben f′(x)f'(x) (auch y′y' oder dydx\frac{dy}{dx}), ordnet jedem xx die dortige Ableitung von ff zu: die Tangentensteigung des Graphen bei xx. Wo diese Steigung nicht existiert, hat f′f' keinen Wert. Diese Seite zeichnet für acht Funktionen ff und f′f' übereinander mit derselben xx-Skala.

Ableitungsfunktion
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Auch geschrieben als f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}, die Ableitung an einer Stelle x0x_0. Lässt man x0x_0 variieren, erhält man die Ableitungsfunktion; aa auf dieser Seite entspricht x0x_0. Der blaue Punkt P liegt auf ff bei x=ax = a, zusammen mit seiner Tangente. Das kleine Dreieck unter der Tangente hat eine waagerechte Strecke von 1; sein Höhenunterschied ist deshalb die Tangentensteigung. Dieselbe vorzeichenbehaftete Zahl wird im eigenen Maßstab der unteren Grafik als gelber Balken bis zum Punkt (a,f′(a))(a, f'(a)) gezeichnet. Wenn sich aa bewegt, läuft dieser Punkt entlang des Graphen von f′; Nachzeichnen zeichnet ihn von links nach rechts.

Die beiden Zeilen zwischen den Graphen bilden eine Vorzeichentabelle: Die obere zeigt, ob ff steigt (↗) oder fällt (↘); die untere zeigt das Vorzeichen von f′f' (+ oder −, mit 0 bei f′=0f' = 0 und „n. def.“, wenn f′f' nicht existiert).

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Was auffällt

  • Auf einem Intervall mit f′>0f' > 0 steigt ff; bei f′<0f' < 0 fällt sie. Die Umkehrung ist schwächer: x3x^3 steigt überall, dennoch gilt f′(0)=0f'(0) = 0. An einem Hoch- oder Tiefpunkt im Inneren des Intervalls, an dem ff differenzierbar ist, gilt f′=0f' = 0. Doch f′=0f' = 0 allein erzeugt kein Extremum (wieder x3x^3 bei 0). Ein Hoch- oder Tiefpunkt kann auch dort liegen, wo f′f' nicht existiert, etwa am Knick von ∣x∣|x|.
  • Wo ff die Krümmungsrichtung wechselt (an einem Wendepunkt) und f′′f'' das Vorzeichen wechselt, hat f′f' ein lokales Maximum oder Minimum. Bei sin⁡x\sin x liegen die Wendepunkte über den Hoch- und Tiefpunkten von cos⁡x\cos x; dort ist sin⁡x\sin x am steilsten. Das gilt nicht für jeden Wendepunkt: x3\sqrt[3]{x} hat bei 0 einen Wendepunkt mit senkrechter Tangente, an dem f′f' keinen Wert hat.
  • Die untere Grafik zeigt Steigungen, keine Werte von ff: Ihre Höhe bei xx sagt, wie schnell sich ff dort ändert. Beide Graphen haben eigene vertikale Maßstäbe, damit sie jeweils ins Bild passen.
  • Am Knick von ∣x∣|x| springt f′f' von −1-1 auf 11, und f′(0)f'(0) existiert nicht. An der Spitze von x2/3x^{2/3} strebt f′f' von links gegen −∞-\infty und von rechts gegen +∞+\infty; an der senkrechten Tangente von x3\sqrt[3]{x} von beiden Seiten gegen +∞+\infty. Jede dieser Funktionen ist bei 0 stetig, aber dort nicht differenzierbar.
  • exe^x ist seine eigene Ableitung: Die untere Grafik wiederholt die obere.
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Bedienung

  • Ziehe P, den Punkt auf f′f' oder an einer beliebigen Stelle in einem der beiden Graphen, um aa zu verschieben. Alternativ drehe das Rad unter Punkt oder wähle die Tasten für markante Punkte. Nachzeichnen bewegt P von links nach rechts und zeichnet dabei f′f'. An jedem Hoch-, Tief- und Wendepunkt sowie jeder Stelle ohne f′f' hält P kurz an, während die Bezeichnung in der Vorzeichentabelle aufleuchtet. P bleibt am rechten Ende. Extrema & Wendepunkte zeichnet gestrichelte Hilfslinien durch die Hoch-, Tief- und Wendepunkte von ff bis hinunter zum Graphen von f′f' und benennt sie in der Vorzeichentabelle.
  • Der Präsentationsmodus öffnet eine Vollbildansicht für Projektoren (Leertaste zeichnet nach, ← → verschieben aa, H blendet den Graphen von f′f' aus; er erscheint dann nur dort, wo P schon war).
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Verwandte Themen

Weiterführende Literatur: Wikipedia: Derivative (Englisch); OpenStax, Calculus Volume 1, 3.2 The Derivative as a Function (Englisch).