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代数と関数 · 平均変化率

平均変化率

[a, b] における f の平均変化率は (f(b) − f(a)) / (b − a)、つまり両端を結ぶ割線の傾きです。[a, b] を分割すると、各区間の変化率を幅で重み付けした平均になります。

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この図で見る平均変化率

区間 [a,b][a, b] における関数 ff の平均変化率は、関数値の変化量を入力の変化量で割ったもの、すなわち差分商 ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x} です。グラフでは (a,f(a))(a, f(a)) と (b,f(b))(b, f(b)) を通る割線の傾きに当たります。時間に対する移動距離なら、平均の速さを表します。このページでは5つの関数について、[a,b][a, b] を最大8区間に分け、全体と各区間を比較します。

[a, b] における平均変化率
ΔyΔx=f(b)−f(a)b−a=∑iΔxi mi∑iΔxi\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\sum_i \Delta x_i \, m_i}{\sum_i \Delta x_i}

分割点 a=x0<x1<⋯<xn=ba = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b により、幅 Δxi=xi−xi−1\Delta x_i = x_i - x_{i-1} の区間ができます。各区間の変化率 mi=Δyi/Δxim_i = \Delta y_i / \Delta x_i は、細い黄色の弦の傾きです。グラフの下の棒は幅が Δxi\Delta x_i、高さが mim_i なので、符号付き面積は Δxi mi=Δyi\Delta x_i \, m_i = \Delta y_i。棒の中の数はこの面積です。面積の合計は Δy\Delta y になります。∑i(f(xi)−f(xi−1))\sum_i (f(x_i) - f(x_{i-1})) では両端以外の値が正負1回ずつ現れ、打ち消し合うからです。この総面積を [a,b][a, b] に均等に広げると、高さ Δy/Δx\Delta y / \Delta x の黄色い実線になります。つまり、全体の変化率は各区間の変化率を幅で重み付けした平均です。破線は幅を考慮しない単純平均 1n∑imi\frac{1}{n} \sum_i m_i です。

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注目するところ

  • 幅の広い棒ほど重みが大きくなります。60 km を時速60 kmで行き、時速40 kmで戻ると、所要時間は2.5時間。遅い帰路のほうが時間が長いため、平均の速さは50ではなく 120 ÷ 2.5 = 48 km/h です。（平均の速さは移動距離を時間で割ります。平均速度は変位を時間で割るため、往復では0です。）区間の幅が等しければ、2本の線は必ず重なります。幅が異なっても、すべての区間の変化率が等しい一次関数などでは重なります。
  • 幅が等しい hh の区間では、変化率に規則性が現れます。一次関数ではすべて等しく、ax2+bx+cax^2 + bx + c では隣との差が 2ah2ah、bxb^x では隣との比が bhb^h になります。比較を押すと、隣り合う棒の差と比が表示されます。
  • 平均変化率は ff の平均値ではなく、両端の値だけで決まります。−x2+4x-x^2 + 4x は [0,4][0, 4] で4まで上がって元に戻るため、この区間の変化率は0です。全体の変化率が正でも、一部の区間では負になることがあります。
  • 棒の高さが左から右へ増えることは、弦のつながりが下に凸になることを示しますが、曲線がどこでも下に凸とは限りません。x2+0.1sin⁡2πxx^2 + 0.1 \sin 2\pi x を 0、1、2、3、4 で分けると棒は 1、3、5、7 ですが、x=14x = \tfrac14 では f′′=2−0.4π2≈−1.95f'' = 2 - 0.4\pi^2 \approx -1.95 なので上に凸です。
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操作方法

  • グラフ上または棒の端で、端点 a、b や分割点をドラッグできます。½ の倍数に吸着します。分割点を隣の点まで動かすと1つにまとまります。数字ホイールで分割数を設定すると等分され、等分で現在の区間の幅をそろえられます。分割点には 1, 2.5 や 4/3 のような厳密な値を入力できます。
  • プレゼンテーションモードでは、プロジェクター向けの全画面表示になります（← → で分割数を変更、H で平均変化率を非表示）。
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関連項目

さらに読む: OpenStax, Precalculus 2e, 1.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (英語); ウィキペディア: Difference quotient (英語).