この図で見るリーマン和
リーマン和は、 上の の積分を近似します。区間を小区間 に分け、それぞれに標本点 を選び、 を足し合わせます。このページでは 等分するので、各区間の幅は同じです。
一般の定義では、幅が異なる小区間と各区間の任意の標本点を使え、最大の幅 が0に近づく極限を取ります。このページのような等分では、 と は同じことです。
各黄色い長方形は1つの小区間を底辺とし、曲線上の黄色い点の高さ まで伸びます。 はそれらの符号付き面積の和なので、x 軸より下の長方形は負に数えます。長方形は曲線より上にはみ出すことも、下に収まることもあります。方法によって標本点を左端 、右端 、中点から選びます。台形の和は代わりに と を弦で結び、左端と右端の和の平均になります。
n → ∞は を段階的に2倍にして まで増やし、各区間を2つに分けます（ が2の累乗でない場合、最初は次の2の累乗へ進みます）。可積分な関数なら、和は青で示す定積分に近づきます。
このページの積分値は原始関数 から厳密に求め、大きな の和を使うことはありません。誤差は からその積分値を引いたものです。
注目するところ
- 面積には符号があります。 では各部分が x 軸より下にあり、斜線で示して負に数えます。 上の の2つの山は打ち消し合い、積分は0になります。
- 増加関数では左端の和が小さすぎ、右端の和が大きすぎます。減少関数では逆です。積分値は両者の間にあります。
- 誤差の減り方は方法によります。滑らかな関数で が大きいと、左端と右端の誤差は 、中点と台形は のように振る舞い、やがて2倍にするたび誤差は半分または4分の1になります。初めは倍率が異なることがあり（ 上の の最初の左端和では1.6）、主要項が打ち消し合うとさらに速く減ります。 上の では左端と右端もすでに 程度です。数値欄の誤差グラフは両対数なので、その倍率は各線の傾きの大きさに現れます。2を底とする対数で、倍率2なら傾きの大きさ1、倍率4なら2です。主要項が消える場合を除き、左端と右端は緩やか、中点と台形は約2倍急に下がります。
- 中点と台形の誤差は通常、逆の符号になります。 では、どの でも中点の誤差は台形の誤差の厳密に 倍です。
- 積分の定義では不等幅の分割や各区間の任意の標本点を使えます。等分と固定した方法は、このページで描く特別な場合です。最大の幅を0に近づけたとき、どの選び方でも同じ極限になる必要があります。
- 厳密には台形の和はリーマン和ではありません（各区間に標本点を1つ選ぶ形ではないため）。ただし左端と右端の和の平均なので、極限は同じです。数値積分の長方形則や台形則はこれらの和です。
操作方法
- 破線 、 または下端の印をドラッグし、区間の2つのホイールを回すか、端点を入力します。π、2π、π/2、e も使えます。ホイール下のキーは厳密な値を設定します。
- 方法のキーで標本点の位置を選びます。各キーの下には現在の での和と誤差があり、4方法をひと目で比較できます。和と積分の間のグラフは、4方法すべての に対する誤差の大きさを示します。
- ノブは を1、2、4 … 256に設定し、1段ごとに2倍にします。矢印キーは次の段へ進みます。それ以外の は10,000まで入力できます。n → ∞は を段階的に2倍にして256で止まります（最初は次の2の累乗へ）。256で押すと1から再開します。プレゼンテーションモードではプロジェクター向けの全画面表示になります（スペースで n → ∞、← → で n を半分・2倍、H で答えを非表示）。