Riemannsumme: Interaktive Visualisierung

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Riemannsumme in dieser Visualisierung

Eine Riemannsumme nähert das Integral von $f$ über $[a, b]$ an. Zerlege das Intervall in Teilintervalle $[x_{i-1}, x_i]$ , wähle in jedem eine Stützstelle $x_i^*$ und addiere $f(x_i^*)\,\Delta x_i$ . Diese Seite verwendet $n$ gleich große Teilintervalle, sodass jedes dieselbe Breite hat:

Riemannsumme

S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x, \qquad \Delta x = \frac{b-a}{n}.

Die allgemeine Definition erlaubt unterschiedlich breite Teilintervalle und beliebige Stützstellen darin. Der Grenzwert wird gebildet, wenn die größte Breite $\lambda = \max \Delta x_i$ gegen 0 geht. Bei gleich breiten Teilintervallen wie hier ist $\lambda \to 0$ gleichbedeutend mit $n \to \infty$ .

Jedes gelbe Rechteck steht auf einem Teilintervall und reicht bis $f(x_i^*)$ , dem gelben Punkt auf der Kurve. $S_n$ addiert die Flächen mit Vorzeichen: Ein Rechteck unter der x-Achse zählt negativ; es kann über die Kurve hinausragen oder darunter bleiben. Die Regel legt die Stützstelle fest: linker Endpunkt $x_{i-1}$ , rechter Endpunkt $x_i$ oder Mittelpunkt. Die Trapezsumme verbindet stattdessen $f(x_{i-1})$ und $f(x_i)$ durch eine Sehne und ist der Mittelwert der linken und rechten Summe:

Trapezsumme

T_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2}\,\Delta x = \frac{L_n + R_n}{2}.

n → ∞ verdoppelt $n$ schrittweise bis $n = 256$ , sodass jeder Teil in zwei zerfällt (ist $n$ keine Zweierpotenz, geht der erste Schritt zunächst zur nächsten). Bei einer integrierbaren Funktion nähern sich die Summen dem blau gezeigten bestimmten Integral:

Bestimmtes Integral

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n = F(b) - F(a).

Die Seite berechnet das Integral exakt aus einer Stammfunktion $F$ , niemals aus einer Summe mit großem $n$ . Der Fehler ist $S_n$ minus diesem Wert.

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Was auffällt

Die Fläche zählt mit Vorzeichen. Bei $f < 0$ hängt ein Teil unter der x-Achse; er wird schraffiert und zählt negativ. Über $[0, 2\pi]$ heben sich die beiden Bögen von $\sin x$ auf, das Integral ist 0.
Bei einer steigenden Funktion ist die linke Summe zu klein und die rechte zu groß; bei einer fallenden umgekehrt. Das Integral liegt zwischen beiden.
Wie schnell der Fehler schrumpft, hängt von der Regel ab. Für eine glatte Funktion und großes $n$ verhalten sich die linken und rechten Fehler wie $C/n$ , die Mittelpunkt- und Trapezfehler wie $C/n^2$ . Jede Verdopplung halbiert beziehungsweise viertelt sie daher schließlich. Anfangs kann der Faktor abweichen (1.6 bei den ersten linken Summen von $x^2$ auf $[0, 1]$ ). Hebt sich der führende Term auf, fällt der Fehler schneller: Bei $x^2$ auf $[-1, 1]$ verhalten sich schon die linken und rechten Fehler wie $1/n^2$ . Im Fehlerdiagramm der Anzeige sind beide Skalen logarithmisch; der Faktor zeigt sich daher im Betrag der Steigung, seinem Logarithmus zur Basis 2: Steigungsbetrag 1 für Faktor 2, 2 für Faktor 4. Links und rechts fallen flach, Mittelpunkt und Trapez ungefähr doppelt so steil, außer wenn der führende Term verschwindet.
Mittelpunkt- und Trapezfehler haben meist entgegengesetzte Vorzeichen. Bei $f(x) = x^2$ ist der Mittelpunktfehler für jedes $n$ exakt das $-\tfrac12$ -Fache des Trapezfehlers.
Die Integraldefinition erlaubt ungleich breite Teile und beliebige Stützstellen darin. Gleich breite Teile mit fester Regel sind der hier gezeichnete Spezialfall. Wenn die größte Breite gegen 0 geht, muss der Grenzwert für jede solche Wahl derselbe sein.
Streng genommen ist die Trapezsumme keine Riemannsumme (keine einzelne Stützstelle pro Teilintervall). Als Mittelwert von linker und rechter Summe hat sie aber denselben Grenzwert. Rechteck- und Trapezregel der numerischen Integration beruhen auf diesen Summen.

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Bedienung

Ziehe die gepunkteten Geraden $x = a$ und $x = b$ oder ihre Markierungen am unteren Rand, drehe die beiden Räder unter Intervall oder gib die Endpunkte ein: π, 2π, π/2 und e werden erkannt. Die Tasten unter den Rädern wählen exakte Werte.
Die Regeltasten wählen die Stützstelle; darunter stehen jeweils Summe und Fehler beim aktuellen $n$ , sodass alle vier auf einen Blick vergleichbar sind. Das Diagramm zwischen Summe und Integral zeigt den Fehlerbetrag gegen $n$ für alle vier Regeln.
Der Drehknopf stellt $n$ auf 1, 2, 4 … 256 ein, eine Rastung pro Verdopplung; seine Pfeiltasten gehen zur nächsten Rastung. Andere $n$ bis 10 000 lassen sich eintippen. n → ∞ verdoppelt $n$ schrittweise bis 256 (zuerst zur nächsten Zweierpotenz) und bleibt dort. Bei 256 startet erneutes Drücken wieder bei 1. Der Präsentationsmodus öffnet eine Vollbildansicht für Projektoren (Leertaste startet n → ∞, ← → halbieren und verdoppeln n, H blendet die Ergebnisse aus).

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