Mittlere Änderungsrate: Interaktive Visualisierung

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Mittlere Änderungsrate in dieser Visualisierung

Die mittlere Änderungsrate einer Funktion $f$ auf einem Intervall $[a, b]$ ist die Änderung des Funktionswerts geteilt durch die Änderung des Arguments: der Differenzenquotient $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ . Im Graphen ist sie die Steigung der Sekante durch $(a, f(a))$ und $(b, f(b))$ . Bei einer über die Zeit zurückgelegten Strecke ist sie die Durchschnittsgeschwindigkeit. Diese Seite zerlegt $[a, b]$ in höchstens acht Teile und vergleicht für fünf Funktionen das Ganze mit seinen Teilen.

Mittlere Änderungsrate auf [a, b]

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\sum_i \Delta x_i \, m_i}{\sum_i \Delta x_i}

Die Teilungspunkte $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ erzeugen Teilintervalle der Breiten $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ , jedes mit einer eigenen Änderungsrate $m_i = \Delta y_i / \Delta x_i$ , der Steigung einer dünnen gelben Sehne. Unter dem Graphen steht für jedes Teilintervall ein Balken: Seine Breite ist $\Delta x_i$ , seine Höhe $m_i$ , also ist seine vorzeichenbehaftete Fläche $\Delta x_i \, m_i = \Delta y_i$ , die Zahl in seinem Inneren. Die Flächen summieren sich zu $\Delta y$ , denn in $\sum_i (f(x_i) - f(x_{i-1}))$ kommt jeder Wert zwischen den Endpunkten einmal mit jedem Vorzeichen vor und hebt sich auf. Verteilt man diese Gesamtfläche gleichmäßig über $[a, b]$ , erhält man die durchgezogene gelbe Linie auf Höhe $\Delta y / \Delta x$ : Die Änderungsrate des gesamten Intervalls ist das nach Breite gewichtete Mittel der Raten seiner Teile. Die gestrichelte Linie zeigt deren einfachen Mittelwert $\frac{1}{n} \sum_i m_i$ , der die Breiten nicht berücksichtigt.

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Was auffällt

Ein breiter Balken hat mehr Gewicht. 60 km mit 60 km/h hin und 60 km mit 40 km/h zurück dauern 2.5 h: Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt 120 ÷ 2.5 = 48 km/h, nicht 50, weil der langsamere Abschnitt länger dauert. (Für die Durchschnittsgeschwindigkeit wird die zurückgelegte Strecke durch die Zeit geteilt; für die mittlere gerichtete Geschwindigkeit die Ortsänderung, die bei einer Rundfahrt 0 ist.) Bei gleich breiten Teilintervallen fallen die beiden Linien immer zusammen. Das kann auch sonst geschehen, etwa bei einer linearen Funktion, deren Teile alle dieselbe Änderungsrate haben.
Bei gleich breiten Teilintervallen $h$ zeigen die Änderungsraten ein Muster: Bei einer linearen Funktion sind sie gleich; bei $ax^2 + bx + c$ unterscheidet sich jede von der vorherigen um $2ah$ ; bei $b^x$ ist jede das $b^h$ -Fache der vorherigen. Vergleichen zeigt Differenzen und Verhältnisse benachbarter Balken.
Die mittlere Änderungsrate ist nicht der Mittelwert von $f$ und hängt nur von den Endpunkten ab: $-x^2 + 4x$ steigt auf $[0, 4]$ bis 4 und fällt wieder zurück, also ist die Änderungsrate dort 0. Auch bei positiver Gesamtrate kann ein Teilintervall eine negative Rate haben.
Von links nach rechts höhere Balken zeigen, dass die Sehnen nach oben abknicken, nicht, dass die Kurve überall nach oben gekrümmt ist: $x^2 + 0.1 \sin 2\pi x$ ergibt bei den Teilungspunkten 0, 1, 2, 3, 4 die Balkenhöhen 1, 3, 5, 7, ist aber bei $x = \tfrac14$ nach unten gekrümmt; dort gilt $f'' = 2 - 0.4\pi^2 \approx -1.95$ .

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Bedienung

Ziehe die Endpunkte a und b oder einen Teilungspunkt am Graphen oder an den Balkenkanten; sie rasten bei Vielfachen von ½ ein. Ziehst du einen Teilungspunkt auf seinen Nachbarn, verschmelzen sie. Das Ziffernrad legt die Anzahl der Teile fest und teilt das Intervall gleichmäßig; Gleich breit verteilt die vorhandenen Teile gleichmäßig; Teilung bei nimmt exakte Werte wie 1, 2.5 oder 4/3 an.
Der Präsentationsmodus öffnet eine Vollbildansicht für Projektoren (← → ändern die Anzahl der Teilintervalle; H blendet die mittlere Änderungsrate aus).

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Mittlere Änderungsrate in dieser Visualisierung

Was auffällt

Bedienung

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