方向場：インタラクティブな可視化

この可視化での方向場

1階微分方程式 $y' = f(x, y)$ は、平面の各点で傾きを指定します。その方向場（傾きの場とも呼びます）は、格子の各点で傾きを短い線分として描きます。解は、グラフがすべての点でその線分に接する微分可能な関数 $y(x)$ です。初期値問題では、与えられた点 $P = (x_0, y_0)$ を通る解を求めます。fが連続で、yについて局所リプシッツ連続なら、各点を通る解が、あるxの区間でただ1つ存在します。つまり、傾きだけで各解が決まります。

Pをドラッグすると、それを通る曲線全体が連続的に動きます（解が存在する任意の閉区間上で）。8つの用意された方程式には閉じた形の解を使い、入力した方程式は適応刻み幅ルンゲ＝クッタ法（Dormand–Prince 5(4)、相対許容誤差 $10^{-8}$ ）で数値計算します。y′がxだけに依存するなら、解の違いは定数だけであり、 $+C$ は縦方向の移動です。yだけに依存するなら、fが0になる高さが水平な平衡解となり、隣り合う2つの平衡解の間の解は、互いを横にずらしたものになります。

オイラー法と刻み幅h

y_{k+1} = y_k + h\, f(x_k, y_k), \qquad x_{k+1} = x_k + h

オイラー法は現在の点で傾きを読み、その傾きで幅hだけ進んでから、再び傾きを読みます。ここではPから終点Xまで進み、最後の刻み幅はXに着くように短くします。解が滑らかなら、Xでの誤差はおおよそhに比例します。赤いキーはhを段階的に半分にし、そのたびに誤差もほぼ半分になるので、前後の誤差の比は2に近づきます。

注目するところ

線分はすべて同じ長さで、矢印の先端もありません。意味があるのは傾きだけです。方向場は、ベクトル場 $(1, f)$ の各矢印から長さの情報を取り除いたものです。
解がすべてのxで存在するとは限りません。 $y' = y^2$ の(0, 1)を通る解は $1/(1-x)$ で、xが1に近づくと際限なく増大します。このページは破線で描画を止め、反対側の枝とはつなぎません。 $y' = -x/y$ の(0, 2)を通る解は半円で、傾きが鉛直になる点で終わります。その先でもオイラー法は数値を返しますが、解の値は存在しないと表示します。
リプシッツ条件がなければ、解は一意とは限りません。 $y = 0$ と $y = x^3$ はどちらも(0, 0)を通る $y' = 3y^{2/3}$ の解です。また、y = 0上にしばらくとどまってから離れる曲線も解になります。(0, 0)からのオイラー法は、どの刻み幅でも0にとどまります。
等傾線は、傾きが一定になる曲線 $f(x, y) = c$ です。各等傾線に沿って線分は平行であり、手で方向場を描くときに利用します。h = π/nとして、 $y' = \cos x$ に対し(0, 0)からπまでオイラー法で進むと、値は正確にhになります。

操作方法

空白をクリックすると別の解を追加できます（最大6本）。最後に触れた初期点がPとなり、オイラー法はそこから始まります。「図を移動」がオンのときは、ドラッグで図を移動します。
x軸上の▲をドラッグするか、ホイールを回すと、オイラー法の終点Xを動かせます。赤いキーは現在のhから始め、最後まで進んだ後はh = 1からやり直します。「収束の記録」ウィンドウは、閉じている間も各段階の値・誤差・比を記録します。

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注目するところ

操作方法

関連項目