Richtungsfeld: Interaktive Visualisierung

Richtungsfelder in dieser Visualisierung

Eine Differentialgleichung erster Ordnung $y' = f(x, y)$ gibt an jedem Punkt der Ebene eine Steigung vor. Ihr Richtungsfeld (auch Steigungsfeld genannt) zeichnet diese Steigung als kurzes Stück an jedem Gitterpunkt. Eine Lösung ist eine differenzierbare Funktion $y(x)$ , deren Graph überall tangential zu diesen Stücken verläuft; ein Anfangswertproblem sucht eine solche Lösung durch einen vorgegebenen Punkt $P = (x_0, y_0)$ . Ist f stetig und bezüglich y lokal Lipschitz-stetig, verläuft durch jeden Punkt genau eine Lösung auf einem gewissen x-Intervall — die Steigungen allein bestimmen also jede Lösung.

Ziehe P, und die ganze Kurve durch diesen Punkt bewegt sich stetig mit (auf jedem abgeschlossenen Intervall, auf dem die Lösung existiert). Bei den acht vorgegebenen Gleichungen werden die Kurven aus geschlossenen Lösungsformeln gezeichnet; bei einer eingegebenen Gleichung werden sie numerisch mit einem adaptiven Runge-Kutta-Verfahren berechnet (Dormand–Prince 5(4), relative Toleranz $10^{-8}$ ). Hängt y′ nur von x ab, unterscheiden sich die Lösungen um eine Konstante: $+C$ ist eine vertikale Verschiebung. Hängt y′ nur von y ab, sind die Nullstellen von f horizontale Gleichgewichtslösungen, und die Lösungen zwischen zwei benachbarten Gleichgewichten sind horizontale Verschiebungen voneinander.

Euler-Verfahren, Schrittweite h

y_{k+1} = y_k + h\, f(x_k, y_k), \qquad x_{k+1} = x_k + h

Das Euler-Verfahren folgt der am aktuellen Punkt abgelesenen Steigung einen Schritt der Länge h und liest sie dann erneut ab. Hier läuft es von P bis zur Endstelle X (der letzte Schritt wird verkürzt, um X genau zu erreichen). Bei einer glatten Lösung ist sein Fehler bei X ungefähr proportional zu h: Die rote Taste halbiert h stufenweise, und jede Halbierung halbiert ungefähr den Fehler. Das Verhältnis aufeinanderfolgender Fehler nähert sich somit 2.

Was auffällt

Die Stücke sind gleich lang und haben keine Pfeilspitzen: Nur ihre Steigung ist von Bedeutung. Ein Richtungsfeld ist das Vektorfeld $(1, f)$ , bei dem die Länge jedes Pfeils weggelassen wird.
Eine Lösung muss nicht für jedes x existieren. Für $y' = y^2$ ist die Lösung durch (0, 1) gleich $1/(1-x)$ ; sie wächst unbeschränkt, wenn sich x der 1 nähert. Die Seite hält sie an der gestrichelten Linie an und verbindet sie niemals mit dem anderen Ast. Für $y' = -x/y$ ist die Lösung durch (0, 2) ein Halbkreis, der dort endet, wo seine Tangente senkrecht wird. Euler liefert auch jenseits einer solchen Stelle noch eine Zahl; der Lösungswert wird dann als nicht existent markiert.
Ohne Lipschitz-Bedingung muss eine Lösung nicht eindeutig sein: $y = 0$ und $y = x^3$ lösen beide $y' = 3y^{2/3}$ durch (0, 0), ebenso jede Kurve, die eine Zeit lang auf y = 0 bleibt und diese Gerade dann verlässt. Das Euler-Verfahren ab (0, 0) bleibt bei jeder Schrittweite bei 0.
Isoklinen sind die Kurven mit konstanter Steigung $f(x, y) = c$ ; entlang jeder dieser Kurven sind die Stücke parallel. So zeichnet man Richtungsfelder von Hand. Mit h = π/n liefert Euler für $y' = \cos x$ von (0, 0) bis π genau h.

Bedienung

Klicke auf eine freie Stelle, um eine weitere Lösung hinzuzufügen (bis zu sechs); der zuletzt berührte Anfangspunkt ist P, an dem Euler startet. Ist „Verschieben“ aktiv, verschiebt Ziehen stattdessen die Darstellung.
Ziehe das ▲ auf der x-Achse oder drehe sein Einstellrad, um Eulers Endstelle X zu verschieben. Die rote Taste beginnt beim aktuellen h; nach dem Ende startet sie wieder bei h = 1. Das Fenster „Annäherungsprotokoll“ sammelt den Wert, den Fehler und das Verhältnis jeder Stufe, auch wenn es geschlossen ist.

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