حقل الميل: تصوّر تفاعلي

حقول الميل في هذا التصوّر

تحدد المعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى $y' = f(x, y)$ ميلًا عند كل نقطة من المستوى. يرسم حقل الميل الخاص بها (ويسمى أيضًا حقل الاتجاهات) ذلك الميل كقطعة قصيرة عند كل نقطة من شبكة. الحل دالة قابلة للاشتقاق $y(x)$ يكون منحناها مماسًا للقطع في كل موضع؛ وتطلب مسألة القيمة الابتدائية الحل المار بنقطة معطاة $P = (x_0, y_0)$ . عندما تكون f متصلة وتحقق شرط ليبشيتز محليًا بالنسبة إلى y، يمر حل واحد بالضبط بكل نقطة، على فترة ما من x؛ ومن ثم فإن الميول وحدها تحدد كل حل.

اسحب P فيتحرك المنحنى المار بها كله بصورة متصلة (على أي فترة مغلقة يوجد فيها الحل). للمعادلات الثماني الجاهزة، تُعطى المنحنيات بحلول ذات صيغ مغلقة؛ أما المعادلة التي تكتبها فتُحسب حلولها عدديًا بطريقة رونج–كوتا التكيفية (دورماند–برنس 5(4)، بسماحية نسبية $10^{-8}$ ). إذا اعتمدت y′ على x وحدها، اختلفت الحلول بثابت: $+C$ إزاحة رأسية. وإذا اعتمدت على y وحدها، كانت أصفار f حلول اتزان أفقية، وكانت الحلول الواقعة بين حلّي اتزان متجاورين إزاحات أفقية بعضها لبعض.

طريقة أويلر، الخطوة h

y_{k+1} = y_k + h\, f(x_k, y_k), \qquad x_{k+1} = x_k + h

تتبع طريقة أويلر الميل المقروء عند النقطة الحالية لمسافة خطوة طولها h، ثم تقرأ الميل مجددًا. تسير هنا من P إلى النهاية X (مع تقصير آخر خطوة لتصل إلى X تمامًا). للحل الأملس، يتناسب خطؤها عند X تقريبًا مع h: ينصّف المفتاح الأحمر h مستوى بعد مستوى، وينصّف كل تنصيف الخطأ تقريبًا، فتؤول نسبة الأخطاء المتتالية إلى 2.

ما الذي يمكنك ملاحظته؟

القطع متساوية الطول وبلا رؤوس أسهم: ميلها وحده يحمل معنى. حقل الميل هو الحقل المتجهي $(1, f)$ بعد إهمال طول كل سهم.
ليس من الضروري أن يوجد حل لكل x. في المعادلة $y' = y^2$ ، يكون الحل المار بـ (0, 1) هو $1/(1-x)$ ، وينمو بلا حد مع اقتراب x من 1؛ توقفه الصفحة عند الخط المتقطع ولا تصله أبدًا بالفرع الآخر. في المعادلة $y' = -x/y$ ، يكون الحل المار بـ (0, 2) نصف دائرة تنتهي حيث يصبح مماسها رأسيًا. تظل طريقة أويلر تعطي عددًا بعد مثل هذه النقطة؛ لكن قيمة الحل تُوسم حينئذ بأنها غير موجودة.
دون شرط ليبشيتز، قد لا يكون الحل وحيدًا: كل من $y = 0$ و $y = x^3$ يحل المعادلة $y' = 3y^{2/3}$ ويمر بـ (0, 0)، وكذلك أي منحنى يبقى على y = 0 فترة ثم يغادره. تبقى طريقة أويلر المنطلقة من (0, 0) عند 0 مهما كان حجم الخطوة.
منحنيات تساوي الميل هي المنحنيات التي يكون عليها الميل ثابتًا، $f(x, y) = c$ ؛ وعلى كل منها تكون القطع متوازية، وهي الطريقة المستخدمة لرسم حقول الميل باليد. عندما h = π/n، تعطي طريقة أويلر للمعادلة $y' = \cos x$ من (0, 0) إلى π القيمة h بالضبط.

أدوات التحكم

انقر مساحة فارغة لإضافة حل آخر (حتى ستة حلول)؛ آخر نقطة لمستها هي P، التي تبدأ منها طريقة أويلر. عند تشغيل تحريك المشهد، يحرّك السحب الرسم بدلًا من ذلك.
اسحب ▲ على محور x، أو أدر عجلته، لتحريك نهاية أويلر X. يبدأ المفتاح الأحمر من h الحالية؛ وبعد الوصول إلى النهاية يبدأ مجددًا من h = 1. تجمع نافذة سجل التقارب قيمة كل مستوى وخطأه ونسبة الأخطاء، حتى وهي مغلقة.

موضوعات ذات صلة

تعطي طريقة أويلر للمعادلة $y' = y$ من (0, 1) إلى 1 القيمة $(1 + h)^{1/h}$ ، وهي عامل الفائدة المركبة. ويُرسم نظام من معادلتين على هيئة مخطط طور.

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Slope field (الإنجليزية); OpenStax, Calculus Volume 2, 4.2 Direction Fields and Numerical Methods (الإنجليزية).