Math

التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات · الحقل المتجهي

الحقل المتجهي

يربط الحقل المتجهي بكل نقطة في مجاله سهمًا F(x, y) = (P, Q)؛ وإذا فُسّر على أنه سرعة، فإنه يحمل كل شيء معه. ضع حبرًا فيه وراقب انتقال القطرات ودورانها وتعرّضها للقصّ والتمدد.

01

الحقول المتجهية في هذا التصوّر

يسند الحقل المتجهي في المستوى إلى كل نقطة (x,y)(x, y) في مجاله متجهًا F(x,y)=(P(x,y), Q(x,y))\mathbf F(x, y) = (P(x, y),\ Q(x, y)). وعند تفسيره بوصفه مجال سرعة فإنه يحرّك كل نقطة: يخضع الجسيم للنظام المستقل أدناه، ويكون مساره منحنى تكامليًا (أو خط انسياب، أو خط جريان) للمجال. ترسم هذه الصفحة المجال، وتحرّك الحبر والجسيمات معه، وتحسب F أينما وضعت المسبار.

جسيم في المجال
x′(t)=P(x,y),y′(t)=Q(x,y)x'(t) = P(x, y), \qquad y'(t) = Q(x, y)

السهم لا يمثل إلا السرعة في تلك اللحظة، لذلك لا يسير الجسيم على امتداد سهم مستقيم، بل على منحنى مماس للأسهم في كل نقطة: في المجال الدوراني (−y,x)(-y, x) يشير السهم عند (1, 0) رأسيًا إلى الأعلى، ومع ذلك يدور مركز القطرة حول دائرة الوحدة. تشترك أسهم الشبكة في مقياس واحد مكتوب أسفل الرسم (تُقصَّر بعض الأسهم الأطول وتُعلَّم بشرطة مائلة)؛ أما سهم المسبار فهو F(P) بطوله الحقيقي، مع رسم مركبتيه P وQ بخطين متقطعين.

تُظهر قطرة حبر صغيرة بنية المجال قرب نقطة. في التقريب من الرتبة الأولى تحملها F عند مركزها وتشوّهها مصفوفة مشتقات المجال: تنمو مساحتها بمعدل نسبي div⁡F\operatorname{div}\mathbf F (ولقطرة ذات حجم منتهٍ، بمتوسط التباعد عليها)، وتدور عناصرها الخطية المتناهية الصغر بمتوسط معدل 12curl⁡F\tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F، وما يبقى هو القصّ والتمدد اللذان لا يصفهما أيّ من العددين. يوضّح القطران ذلك: في مجال القصّ يميل أحدهما بمقدار 45° عند t = 1 بينما يبقى الآخر أفقيًا.

02

ما الذي يمكنك ملاحظته؟

  • تظهر جسيمات الخلفية من جديد في مواضع عشوائية، لذلك لا يحمل ازدحامها أي معنى؛ ولرؤية التمدد، راقب مساحة قطرة (التباعد، E25). تتلاشى ذيولها القصيرة وليست خطوط انسياب — فلتلك زر مستقل.
  • تبدأ كل قطرة عند t = 0 لحظة وضعها؛ وتتبع القراءة أحدث قطرة وُضعت. الاتجاه إلى الأمام يزيد t، والاتجاه إلى الخلف ينقصها، ويمكن لكليهما عبور 0. يمكنك وضع الحبر أثناء الجريان في أيّ من الاتجاهين. يتبع الزمن السالب المجال نفسه إلى الخلف بدءًا من الدائرة الابتدائية؛ ولا يحتاج إلى ماضٍ مسجل. تستخدم الإعدادات الخطية الخمسة الأسّ المصفوفي؛ ويستخدم مجال البندول والمجال المُدخل تكاملًا عدديًا مع ضبط الخطأ. تتطلب قابلية العكس حلولًا وحيدة موجودة على امتداد المسار كله، ولا يمكن استعادة النقاط التي توقفت.
  • تتوقف القطرات حيث تغادر منطقة الحساب، أو حيث يكبر المجال بلا حد أو يكون غير معرّف؛ ينقطع المحيط هناك وتفقد القطرة تعبئتها. المجالات هنا ثنائية الأبعاد ولا تتغير مع الزمن.
03

أدوات التحكم

  • انقر الرسم لوضع الحبر، أو اسحب لوضع سلسلة من القطرات (ثلاث على الأكثر). عند تفعيل تحريك المشهد يحرّك السحب المشهد. اسحب P، أو أدخل إحداثياتها (من −100 إلى 100)؛ فهي تلتقط نقاط شبكة الأسهم. أدخل P وQ باستخدام + − × ÷ ^ وsin وexp وln وsqrt …
  • يفتح وضع العرض مشهدًا بملء الشاشة لأجهزة العرض: يشغّل مفتاح المسافة الجريان أو يوقفه، ويحدد → و← اتجاهه، ويخفي H قيمة F عند المسبار. ينسخ مشاركة رابطًا يعيد فتح المجال والمسبار والحبر عند أزمنتها.
04

موضوعات ذات صلة

  • E15التدرّج
  • E10خريطة خطوط المستوىقيد الإعداد
  • E23التكامل الخطيقيد الإعداد
  • E25التباعد
  • E26الدورانقيد الإعداد
  • G07مخطط الطورقيد الإعداد
  • D27حقل الميل

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Vector field (الإنجليزية); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.1 Vector Fields (الإنجليزية).