الدوران: تصوّر تفاعلي

الدوران في هذا التصوّر

دوران المجال المتجهي المستوي $\mathbf F = (P, Q)$ هو العدد أدناه، ويُسمّى أيضًا الدوران القياسي؛ وهو المركّبة الثالثة للمتجه ثلاثي الأبعاد $\nabla\times\mathbf F$ . ويمثّل كثافة التكامل الدوراني: التكامل الدوراني حول حلقة صغيرة تحيط بنقطة، في الاتجاه المعاكس لعقارب الساعة، مقسومًا على المساحة التي تحصرها، عندما تتقلّص الحلقة إلى النقطة. يصح التعريفان حيث يكون F قابلًا للاشتقاق باستمرار.

الدوران كمشتقة وكنهاية

\operatorname{curl}\mathbf F = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \lim_{r\to 0}\frac{1}{\pi r^2}\oint \mathbf F\cdot\mathbf T\,ds

العلامات الصفراء هي مركّبة التدفق المماسية للمحيط، ⁦F·T⁩؛ وتكاملها Γ هو التكامل الدوراني على المحيط، و⁦Γ/(2πr²)⁩ هو متوسط سرعته الزاوية. يقترب من نصف الدوران عندما ⁦r → 0⁩، ويساويه لكل r عندما يكون الدوران دالة خطية. العجلة نفسها هي العجلة الصغيرة المثالية في تدفق أملس: تدور بسرعة زاوية $\omega = \tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F(P)$ ، وهي متوسط سرعتي دوران عنصرين خطيين متعامدين يمرّان بالنقطة P في تلك اللحظة؛ الأفقي بسرعة ⁦∂Q/∂x⁩، والعمودي بسرعة ⁦−∂P/∂y⁩ (شكل الصليب). ليس من الضروري أن يدور أي منهما منفردًا بسرعة ω: في التدفق القصّي ⁦(y, 0)⁩ يدور العمودي بسرعة ⁦−1⁩ ولا يدور الأفقي إطلاقًا.

يترك الانجراف العجلة تتحرّك مع التدفق. تدور عند كل نقطة تمر بها بسرعة زاوية تساوي نصف الدوران هناك، فتكون زاويتها المتراكمة على الطريق $\theta = \int \tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F\,dt$ ؛ وتسجّل علامة كل نصف وحدة زمن اتجاهها. في الدوامة ⁦(−y, x)/(x² + y²)⁩، يساوي الدوران 0 في كل مكان عدا نقطة الأصل، حيث F غير معرّف؛ وتعود العجلة التي تطوف حول الأصل بزاوية ⁦θ = 0⁩. انحناء التدفق يميل إلى تدويرها عكس عقارب الساعة، والماء الأسرع في جانبها الداخلي يميل إلى تدويرها مع عقارب الساعة، فيتلاشى التأثيران.

ما الذي يمكنك ملاحظته؟

تنص مبرهنة غرين (بصيغة التكامل الدوراني) على أن $\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf T\,ds$ حول حدود منطقة D، باتجاه معاكس لعقارب الساعة، يساوي $\iint_D \operatorname{curl}\mathbf F\,dA$ ، عندما يكون F قابلًا للاشتقاق باستمرار على مجموعة مفتوحة تحتوي D. داخل الحلقة، يسهم التكامل الدوراني على الحافة الداخلية المشتركة مرة في كل من الخليتين، وباتجاهين متعاكسين؛ لذا يكون مجموع التكاملات الدورانية للخلايا مساويًا للتكامل على الحد الخارجي، وقيمة كل منها تقارب الدوران مضروبًا في المساحة. تجمع الحلقة الدوران عند مركز كل خلية مضروبًا في مساحتها: إنه مجموع بقاعدة نقطة المنتصف، دقيق حين يكون الدوران خطيًا، ويقترب من Γ مع تقلّص الخلايا في الحالات الأخرى.
قد يكون لخطوط التدفق المستقيمة دوران غير صفري (التدفق القصّي والقناة)، وقد يكون لخطوط التدفق الدائرية دوران صفري (الدوامة). التكامل الدوراني حول حلقة تحيط بمركز الدوامة يساوي ⁦2π⁩، مع أن الدوران يساوي 0 في سائر النقاط داخلها. لا تنطبق المبرهنة هنا لأن F غير معرّف عند المركز (السلم الحلزوني في صفحة التكامل الخطي). تبيّن العلامات المركّبة المماسية للمحيط فقط؛ أما المركّبة العابرة له فتتعلّق بالتباعد. في ثلاثة أبعاد يكون الدوران متجهًا، وتصبح المبرهنة مبرهنة ستوكس.
يُحسب الدوران باشتقاق رمزي، وتعني «=» أن القيمة دقيقة. يُحسب التكامل الدوراني بصيغة مغلقة للمجالات الجاهزة، وبتكامل عددي مع تقدير للخطأ للمجالات المُدخلة. كذلك يُحسب الانجراف بصيغة مغلقة للمجالات الجاهزة عدا المجال التكعيبي، وبالتكامل العددي في غير ذلك. العلامات عينات كل نصف وحدة زمن: إذا دارت العجلة دورة كاملة بين علامتين بدت ساكنة في العلامات، بينما تحصي θ كل الدورات. جسيمات الخلفية تبيّن وجهة التدفق فقط؛ ولا تدل كثافتها على شيء.

أدوات التحكم

اسحب مركز العجلة P (يلتقط نقاط شبكة الأسهم) أو محيطها (يلتقط القيم ⁦½, 1, 2 …⁩)، أو أدخل القيم: إحداثيا P من ⁦−100⁩ إلى 100، وr من 0.001 إلى 100. اسحب في موضع آخر لتحريك العرض؛ واستخدم أزرار العرض للتكبير والتصغير. اختر العجلة أو حلقة مربعة لملاحظة المجال. نصف ضلع الحلقة r، ويمكن ضبط عدد خلاياها. يبدأ الانجراف الجولة نفسها أو يوقفها مؤقتًا أو يستأنفها في وضع العجلة. تواصل العجلة الحركة خارج الصورة. بعد الإيقاف المؤقت، يؤدي تحريك المركز إلى تعيين نقطة انطلاق جديدة، وتبقى العجلة ساكنة حتى تضغط الانجراف. يعيد زر العودة إلى البداية موضع الانطلاق واتجاه العجلة، ويمسح زمن الجولة وزاويتها المتراكمة وأثرها. أدخل P وQ باستخدام ⁦+ − × ÷ ^⁩ وsin وexp وln وsqrt …
يفتح زر وضع العرض عرضًا بملء الشاشة مناسبًا لأجهزة الإسقاط: يحرّك مفتاح المسافة العجلة مع التدفق أو يوقفها مؤقتًا، ويضاعف ← و→ حجم المحيط أو ينصّفانه، ويخفي H كيفية دوران العجلة. ينسخ زر مشاركة رابطًا يعيد فتح المجال والعجلة والعرض.

موضوعات ذات صلة

E22الحقل المتجهي
E12المشتقة الجزئية
E23التكامل الخطيقريبًا
E25التباعد

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Curl (mathematics) (الإنجليزية); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.5 Divergence and Curl (الإنجليزية); ويكيبيديا: Green's theorem (الإنجليزية).