旋度

這個視覺化中的旋度

值得觀察的地方

• 格林定理（環流形式）：當 F 在包含區域 D 的開集合上連續可微分時，沿 D 的邊界逆時針繞行所得的 $\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf T\,ds$ 等於 $\iint_D \operatorname{curl}\mathbf F\,dA$。在迴路中，一條共用內部邊線對相鄰兩個小格各貢獻一次環流量，方向相反，因此各格的環流量相加後只剩外邊界的環流量；每格的環流量約為旋度 × 面積。迴路將每格中心的旋度乘以面積後相加：這是中點和，旋度為線性函數時精確成立；否則隨小格縮小而逼近 Γ。
• 筆直流線可以有旋度（剪切流、渠道流），圓形流線也可以沒有旋度（渦流）。繞渦流中心的迴路，環流量為 2π，儘管內部其他地方的旋度都是 0：定理在這裡不適用，因為 F 在中心沒有定義（線積分頁面的螺旋樓梯）。短線只表示沿輪緣的分量；穿過輪緣的分量屬於散度的範疇。在三維中，旋度是向量，定理則成為斯托克斯定理。
• 旋度由符號微分求得，「=」表示精確值。預設範例的環流量以閉式公式計算，自行輸入的場則使用帶誤差估計的數值積分；除了三次場，預設範例的漂移也使用閉式公式，其餘採數值積分。標記每半個時間單位取樣一次：如果葉輪在兩個標記之間恰好轉完整一圈，標記看起來就像沒動，但 θ 仍會計入每一圈。背景粒子只表示水流往哪裡走，密集程度沒有意義。

操作方式

• 拖曳葉輪中心 P（會吸附到箭頭格點）或輪緣（會吸附到 ½、1、2 …），也可直接輸入：P 範圍為 −100 到 100，r 範圍為 0.001 到 100。拖曳其他地方可平移；使用視圖按鈕縮放。選擇葉輪或正方形迴路來觀察向量場。迴路的半邊長為 r，格數可以調整。在葉輪模式中，漂移會啟動、暫停或繼續同一次運行。葉輪離開畫面後仍會移動。暫停後移動中心，會設定新的出發點，並保持靜止，直到再次按下漂移。回到起點會還原起始位置與朝向，並清除這次運行的時間、轉角與軌跡。可用 + − × ÷ ^、sin、exp、ln、sqrt … 輸入 P 和 Q。
• 簡報模式會開啟適合投影的全螢幕視圖：空白鍵讓葉輪漂移或暫停，← 和 → 將輪緣加倍或減半，H 隱藏葉輪旋轉的讀值。分享會複製連結，重新開啟時會還原向量場、葉輪與視圖。

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