旋度与本页画面
平面向量场的旋度是下面这个数，也叫标量旋度；它是三维旋度的第三个分量。它是环量密度：绕一点的小回路按逆时针方向的环量，除以回路围住的面积，回路缩向这一点时的极限。两种说法都要求F在这一点附近连续可微。
黄色刻度是流沿外圈的分量F·T；它沿外圈的积分Γ是外圈的环量，Γ/(2πr²)是外圈的平均角速度。r → 0时它趋于旋度的一半；旋度是一次函数时，任何r都正好相等。桨轮本身是光滑流里的理想小桨轮：它的角速度，等于过P、此刻互相垂直的两条小线段转速的平均——横的转速是∂Q/∂x，竖的是−∂P/∂y（十字）。单看一条，转速不一定是ω：剪切流(y, 0)里竖的转速是−1，横的不转。
按漂流，桨轮随流漂走。它经过的每一点都让它以那里旋度的一半转动，所以一路的累计转角是沿路径的积分；每隔半个时间单位留一个印记，记下当时的朝向。涡旋(−y, x)/(x² + y²)里，除了场没有定义的原点，旋度处处为0，绕原点漂一圈的桨轮回来时θ = 0：流绕着原点拐弯，会让它逆时针转；内侧的水比外侧快，会让它顺时针转，两者正好抵消。
值得注意的现象
- 格林定理（环量形式）：沿区域D的边界按逆时针方向的环量，等于，条件是F在包含D的一个开集上连续可微。回路里，沿两格共用内部边的环量对这两格各算一次、方向相反，所以各格的环量加起来只剩外边的环量，而每一格的环量约等于旋度×面积。回路的读数把每格中心的旋度乘格的面积加起来：这是中点和，旋度是一次函数时正好相等，否则格子越小越接近Γ。
- 流线笔直的流可以有旋度（剪切流、水道），绕圈的流可以没有（涡旋）。绕涡旋中心的回路环量是2π，可回路里其余各处旋度都是0：场在中心没有定义，格林定理在这里不适用（曲线积分一页的“螺旋楼梯”）。刻度只画沿外圈的分量；穿过外圈的分量属于散度。三维里旋度是一个向量，格林定理变成斯托克斯公式。
- 旋度用符号求导算出，“=”表示精确值。预设场的环量用闭式，键入的场用带误差估计的数值积分；漂流时，除了“三次”，预设场都用闭式，其余用数值积分。印记是每隔半个时间单位取的样：两个印记之间正好转了整圈的桨轮，在印记里看起来没转，θ却把每一圈都算进去。背景粒子只表示流往哪里走，它们的疏密不代表任何量。
操作
- 拖桨轮的中心P（会吸到箭头网格的格点）或它的外圈（会吸到½、1、2……），也可以键入：P在−100到100之间，r在0.001到100之间。拖别处平移画面，用视角按钮缩放。选择桨轮或方形回路来观察；回路的半边长为r，可以调整分格。漂流仅用于桨轮：开始、暂停或继续同一轮实验。桨轮移出画面后仍继续运动。暂停后改变中心位置，会设置新的出发点；再次按漂流才开始运动。回到出发点恢复出发位置和朝向，清空本轮时间、累计转角和轨迹。P和Q可以用+ − × ÷ ^和等函数键入。
- 演示模式打开全屏，适合投影：空格让桨轮漂流或暂停，←、→把外圈放大一倍或缩小一半，H隐藏桨轮怎样转。分享复制一个链接，打开后还原场、桨轮和视图。