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Cálculo de varias variables · Rotacional

Rotacional

El rotacional de un campo vectorial plano, ∂Q/∂x − ∂P/∂y, es el doble de la velocidad angular de una pequeña rueda de paletas ideal colocada en el flujo. Pon una rueda en un flujo recto y observa cómo gira; déjala rodear un vórtice a la deriva y verás que no gira sobre sí misma.

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El rotacional en esta visualización

El rotacional de un campo vectorial plano F=(P,Q)\mathbf F = (P, Q) es el número de abajo, también llamado rotacional escalar; es la tercera componente del ∇×F\nabla\times\mathbf F tridimensional. Es la densidad de circulación: la circulación alrededor de un pequeño contorno que rodea un punto, en sentido antihorario, dividida por el área encerrada, cuando el contorno se contrae hacia el punto. Ambas caracterizaciones se cumplen donde F es continuamente diferenciable.

El rotacional como derivada y como límite
curl⁡F=∂Q∂x−∂P∂y=lim⁡r→01πr2∮F⋅T ds\operatorname{curl}\mathbf F = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \lim_{r\to 0}\frac{1}{\pi r^2}\oint \mathbf F\cdot\mathbf T\,ds

Las marcas amarillas representan la componente del flujo a lo largo del aro, F·T; su integral Γ es la circulación del aro, y Γ/(2πr²), su velocidad angular media. Esta tiende a la mitad del rotacional cuando r → 0 y coincide con ella para cualquier r cuando el rotacional es una función lineal. La rueda es la pequeña rueda ideal de un flujo suave: gira con ω=12curl⁡F(P)\omega = \tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F(P), la media de las velocidades angulares de dos elementos de línea perpendiculares que pasan por P en ese instante: el horizontal gira con ∂Q/∂x y el vertical con −∂P/∂y (la cruz). Ninguno tiene por qué girar por separado con ω: en el flujo de cizallamiento (y, 0), el vertical gira con −1 y el horizontal no gira.

Deriva deja que la rueda se desplace con el flujo. En cada punto por el que pasa, gira a la mitad del rotacional local, por lo que su giro acumulado a lo largo del recorrido es θ=∫12curl⁡F dt\theta = \int \tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F\,dt; una marca cada media unidad de tiempo registra su orientación. En el vórtice (−y, x)/(x² + y²), el rotacional es 0 en todas partes salvo en el origen, donde F no está definido, y una rueda que rodea el origen regresa con θ = 0: la curvatura del flujo tendería a hacerla girar en sentido antihorario y el agua más rápida en su lado interior, en sentido horario; ambos efectos se cancelan.

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En qué fijarse

  • El teorema de Green (forma de circulación): ∮∂DF⋅T ds\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf T\,ds a lo largo del borde de una región D, recorrido en sentido antihorario, es igual a ∬Dcurl⁡F dA\iint_D \operatorname{curl}\mathbf F\,dA cuando F es continuamente diferenciable en un abierto que contiene D. En el contorno, la circulación a lo largo de cada borde interior compartido contribuye una vez a cada una de las dos celdas, con orientaciones opuestas; así, sus circulaciones suman la del borde exterior, y cada una es aproximadamente rotacional × área. El contorno suma el rotacional en el centro de cada celda multiplicado por su área: una suma de puntos medios, exacta cuando el rotacional es lineal y que, en los demás casos, se aproxima a Γ al reducir las celdas.
  • Las líneas de flujo rectas pueden tener rotacional no nulo (el flujo de cizallamiento, el canal), y las circulares pueden tenerlo nulo (el vórtice). Un contorno alrededor del centro del vórtice tiene circulación 2π, aunque el rotacional es 0 en todos los demás puntos interiores: allí no se aplica el teorema porque F no está definido en el centro (la escalera de caracol de la página sobre la integral de línea). Las marcas muestran solo la componente a lo largo del aro; la componente que lo atraviesa corresponde a la divergencia. En tres dimensiones, el rotacional es un vector y el teorema se convierte en el teorema de Stokes.
  • El rotacional se obtiene mediante derivación simbólica, y «=» indica un valor exacto. La circulación se calcula mediante expresiones en forma cerrada para los campos predefinidos y mediante integración numérica con estimación del error para los campos introducidos; la deriva se calcula mediante expresiones en forma cerrada para los campos predefinidos, salvo el cúbico, y mediante integración numérica en los demás casos. Las marcas son muestras cada media unidad de tiempo: si la rueda da una vuelta completa entre dos marcas, parece inmóvil en ellas, mientras que θ cuenta todas las vueltas. Las partículas de fondo solo muestran hacia dónde va el flujo; su concentración no tiene significado.
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Controles

  • Arrastra el centro P de la rueda (se ajusta a la cuadrícula de flechas) o su aro (se ajusta a ½, 1, 2 …), o introduce sus valores: P de −100 a 100 y r de 0.001 a 100. Arrastra en otro lugar para desplazar la vista; usa los botones de vista para ampliar o reducir. Elige Rueda o Contorno cuadrado para observar el campo. El contorno tiene semilado r y un número ajustable de celdas. Deriva inicia, pausa o reanuda la misma ejecución en el modo Rueda. La rueda sigue moviéndose fuera del dibujo. Después de pausar, mover su centro fija un nuevo punto de partida y la mantiene quieta hasta que pulses Deriva. Volver al inicio restaura la posición y orientación de partida y borra el tiempo, el giro y la trayectoria de esa ejecución. Escribe P y Q con + − × ÷ ^, sin, exp, ln, sqrt …
  • Modo presentación abre una vista a pantalla completa para proyectores: Espacio activa o pausa la deriva de la rueda, ← y → duplican o reducen a la mitad el aro, y H oculta cómo gira la rueda. Compartir copia un enlace que restaura el campo, la rueda y la vista.
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Conceptos relacionados

Para saber más: Wikipedia: Curl (mathematics) (Inglés); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.5 Divergence and Curl (Inglés); Wikipedia: Green's theorem (Inglés).