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Mehrdimensionale Analysis · Rotation

Rotation

Die Rotation eines ebenen Vektorfelds, ∂Q/∂x − ∂P/∂y, ist das Doppelte der Winkelgeschwindigkeit, mit der sich ein ideales kleines Schaufelrad in der Strömung dreht. Setze ein Rad in eine gerade Strömung und beobachte seine Drehung; lass es um einen Wirbel treiben und sieh, dass es sich dabei überhaupt nicht um sich selbst dreht.

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Rotation in dieser Visualisierung

Die Rotation eines ebenen Vektorfelds F=(P,Q)\mathbf F = (P, Q) ist die Zahl unten, auch skalare Rotation genannt; sie ist die dritte Komponente des dreidimensionalen ∇×F\nabla\times\mathbf F. Sie ist die Zirkulationsdichte: die Zirkulation gegen den Uhrzeigersinn um eine kleine geschlossene Kurve um einen Punkt, geteilt durch die eingeschlossene Fläche, wenn die Kurve auf den Punkt zusammenschrumpft. Beide Beschreibungen gelten dort, wo F stetig differenzierbar ist.

Rotation als Ableitung und als Grenzwert
curl⁡F=∂Q∂x−∂P∂y=lim⁡r→01πr2∮F⋅T ds\operatorname{curl}\mathbf F = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \lim_{r\to 0}\frac{1}{\pi r^2}\oint \mathbf F\cdot\mathbf T\,ds

Die gelben Markierungen zeigen die Strömungskomponente entlang des Randkreises, F·T; ihr Integral Γ ist die Zirkulation des Randkreises und Γ/(2πr²) seine mittlere Winkelgeschwindigkeit. Diese strebt für r → 0 gegen die halbe Rotation und ist für jedes r gleich ihr, wenn die Rotation eine lineare Funktion ist. Das Rad selbst ist das ideale kleine Rad einer glatten Strömung: Es dreht sich mit ω=12curl⁡F(P)\omega = \tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F(P), dem Mittel der Winkelgeschwindigkeiten zweier in diesem Moment senkrecht zueinander stehender Linienelemente durch P — das waagerechte mit ∂Q/∂x, das senkrechte mit −∂P/∂y (das Kreuz). Keines von beiden muss sich allein mit ω drehen: In der Scherströmung (y, 0) dreht sich das senkrechte mit −1 und das waagerechte gar nicht.

Treiben lässt das Rad mit der Strömung wandern. An jedem durchlaufenen Punkt dreht es sich mit der halben dortigen Rotation; sein Gesamtdrehwinkel entlang des Wegs ist also θ=∫12curl⁡F dt\theta = \int \tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F\,dt. Alle halbe Zeiteinheit hält eine Markierung seine Ausrichtung fest. Im Wirbel (−y, x)/(x² + y²) ist die Rotation überall 0 außer im Ursprung, wo F nicht definiert ist. Ein Rad, das den Ursprung umrundet, kehrt mit θ = 0 zurück: Die gekrümmte Strömung würde es gegen den Uhrzeigersinn drehen, das schnellere Wasser auf seiner Innenseite im Uhrzeigersinn, und beides hebt sich auf.

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Was auffällt

  • Der Satz von Green (Zirkulationsform): ∮∂DF⋅T ds\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf T\,ds entlang des gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Rands eines Gebiets D ist gleich ∬Dcurl⁡F dA\iint_D \operatorname{curl}\mathbf F\,dA, wenn F auf einer offenen Menge, die D enthält, stetig differenzierbar ist. Die Zirkulation entlang einer gemeinsamen inneren Kante trägt zu jeder der beiden Zellen einmal bei, mit entgegengesetzten Orientierungen. Daher addieren sich die Zirkulationen der Zellen zu derjenigen am äußeren Rand; jede beträgt ungefähr Rotation × Fläche. Die Kontur summiert die Rotation in jedem Zellmittelpunkt, multipliziert mit der Zellfläche: eine Mittelpunktssumme, die bei linearer Rotation exakt ist und sonst mit kleiner werdenden Zellen gegen Γ strebt.
  • Gerade Stromlinien können eine von null verschiedene Rotation haben (Scherströmung, Kanal), kreisförmige dagegen Rotation null (Wirbel). Eine geschlossene Kurve um das Wirbelzentrum hat die Zirkulation 2π, obwohl die Rotation überall sonst im Inneren 0 ist: Der Satz ist dort nicht anwendbar, weil F im Zentrum nicht definiert ist (die Wendeltreppe auf der Seite zum Kurvenintegral). Die Markierungen zeigen nur die Komponente entlang des Randkreises; die Komponente quer dazu gehört zur Divergenz. In drei Dimensionen ist die Rotation ein Vektor, und aus dem Satz wird der Satz von Stokes.
  • Die Rotation wird durch symbolisches Ableiten berechnet, und „=“ kennzeichnet einen exakten Wert. Für die vorgegebenen Felder wird die Zirkulation in geschlossener Form berechnet, für eingegebene Felder durch numerische Integration mit Fehlerschätzung. Die Drift wird bei den Vorgaben außer dem kubischen Feld in geschlossener Form berechnet, sonst numerisch integriert. Die Markierungen sind Stichproben alle halbe Zeiteinheit: Dreht sich das Rad zwischen zwei Markierungen um eine volle Umdrehung, wirkt es in den Markierungen unbewegt, während θ jede Umdrehung mitzählt. Die Hintergrundpartikel zeigen nur, wohin die Strömung fließt; ihre Häufung hat keine Bedeutung.
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Bedienung

  • Ziehe den Mittelpunkt P des Rads (er rastet am Pfeilgitter ein) oder seinen Randkreis (er rastet bei ½, 1, 2 … ein), oder gib die Werte ein: P von −100 bis 100, r von 0.001 bis 100. Ziehe an anderer Stelle zum Verschieben der Ansicht; zoome mit den Ansichtstasten. Wähle Rad oder Quadratkontur, um das Feld zu untersuchen. Die Kontur hat die halbe Seitenlänge r und eine einstellbare Zellanzahl. Treiben startet, pausiert oder setzt im Radmodus denselben Lauf fort. Das Rad bewegt sich außerhalb des Bilds weiter. Verschiebst du nach dem Pausieren seinen Mittelpunkt, entsteht ein neuer Startpunkt; das Rad bleibt stehen, bis du Treiben drückst. Zurück zum Start stellt die Ausgangsposition und -ausrichtung wieder her und löscht Zeit, Drehwinkel und Spur dieses Laufs. Gib P und Q mit + − × ÷ ^, sin, exp, ln, sqrt … ein.
  • Präsentationsmodus öffnet eine Vollbildansicht für Projektoren: Die Leertaste lässt das Rad treiben oder pausiert es, ← und → verdoppeln oder halbieren den Randkreis, H blendet aus, wie sich das Rad dreht. Teilen kopiert einen Link, der Feld, Rad und Ansicht wiederherstellt.
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Verwandte Themen

Weiterführende Literatur: Wikipedia: Curl (mathematics) (Englisch); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.5 Divergence and Curl (Englisch); Wikipedia: Green's theorem (Englisch).