Divergenz: Interaktive Visualisierung

Divergenz in dieser Visualisierung

Die Divergenz eines ebenen Vektorfelds $\mathbf F = (P, Q)$ ist die skalare Größe $\operatorname{div}\mathbf F = \nabla\cdot\mathbf F = \partial P/\partial x + \partial Q/\partial y$ , definiert, wo F stetig differenzierbar ist. Sie misst den Nettoausfluss pro Flächeneinheit und heißt auch Quelldichte. Addiere entlang des Randes eines kleinen Kreises mit Radius r um p die nach außen gerichtete Normalkomponente $\mathbf F\cdot\mathbf n$ (den Fluss Φ) und teile durch die Fläche:

Divergenz als Grenzwert

\operatorname{div}\mathbf F(p) = \lim_{r\to 0}\frac{1}{\pi r^2}\oint \mathbf F\cdot\mathbf n\,ds

Die Randmarkierungen zeigen F·n: ausgefüllt nach außen, hohl nach innen, ein Maßstab pro Kreis. Bei einem glatten Feld unterscheidet sich der Quotient von der Divergenz um einen Term proportional zu r². Jede Halbierung von r teilt den Abstand daher ungefähr durch vier; in einem linearen Feld stimmt er bei jedem Kreis mit der Divergenz überein. Die Form ist unerheblich: Ein Quadrat um p liefert denselben Grenzwert. Ein Farbtropfen macht die Bedeutung sichtbar: Ein kleiner, mit der Strömung bewegter Flüssigkeitsfleck wächst mit der relativen Flächenrate div F. Ein Fleck endlicher Größe, über eine endliche Zeit verfolgt, misst einen Mittelwert davon.

Zerlege ein Gebiet in Zellen und addiere ihre Ausflüsse: An jeder inneren Kante ist der Ausfluss einer Zelle der Zufluss ihrer Nachbarin. Nur der äußere Rand bleibt übrig. Lässt man die Zellen schrumpfen, wird aus der Summe der Divergenzsatz (die Flussform des Satzes von Green): $\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = \iint_D \operatorname{div}\mathbf F\,dA$ , für ein beschränktes Gebiet mit stückweise glattem Rand, in dem F stetig differenzierbar ist. Im Dreidimensionalen lautet dieselbe Aussage als Gaußscher Integralsatz mit Oberflächen und Volumina.

Was auffällt

Divergenz beschreibt nicht, in welche Richtung die Pfeile zeigen. Die Punktquelle $(x, y)/(x^2 + y^2)$ zeigt überall nach außen, hat aber außerhalb des Ursprungs Divergenz 0. Aus jedem Kreis um den Ursprung fließen 2π heraus, denn die gesamte Quelle sitzt im Ursprung, wo das Feld nicht definiert ist (im Distributionensinn ist die Divergenz dort 2π mal eine Delta-Distribution). Das Feld $(x^2, 0)$ zeigt überall nach rechts, hat aber Quellen, wo die Strömung schneller wird, und Senken, wo sie langsamer wird.
Schnelle Strömung ist keine Divergenz: Das Sattelfeld $(x, -y)$ drückt einen Tropfen flach, erhält aber seine Fläche. Wie die Strömung entlang des Randes läuft, F·T, ist eine Frage der Rotation (E26).
Die Divergenz wird durch symbolisches Ableiten der Formel bestimmt. Nur wenn ihr exakter Wert rational ist, steht „=“ davor. Der Fluss wird numerisch integriert und nur mit den Ziffern angezeigt, die seine Fehlerschätzung rechtfertigt. Bei einem eingegebenen Feld vergleicht die Seite den Fluss mit ∬ div F dA und meldet Abweichungen: Im Gebiet oder in seiner Nähe könnte ein singulärer Punkt liegen.

Bedienung

Ziehe P oder den Rand und seinen r-Griff. P rastet am Pfeilgitter ein, r bei Zweierpotenzen. r → 0 halbiert r sechsmal und sammelt jede Stufe im optionalen Fenster „Annäherungsprotokoll“; bei einer kleinen Form öffnet sich die Lupe. Wähle Quadrat, um r als halbe Seitenlänge zu verwenden, und lege dann unter Gitter die Unterteilung fest.
Verformung verfolgt den aktuellen Kreis oder das Quadrat bis t = ¼. Drücke während des Ablaufs zum Pausieren oder nach dem Ende zum Wiederholen; die Endform bleibt sichtbar. Fläche und Wachstumsrate sind Mittelwerte über Gebiet und Zeit. Referenzform hält Position, Größe und Form fest, während du den Detektor verschiebst oder seine Form änderst. Ein Feldwechsel löscht sie; erneutes Drücken entfernt sie ebenfalls.
Der Präsentationsmodus öffnet eine Vollbildansicht: Leertaste startet r → 0, ← und → verdoppeln oder halbieren r, H blendet die Divergenz aus. Teilen kopiert einen Link zu Feld, Detektor und Ansicht.

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