Math

التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات · التباعد

التباعد

تباعد المجال المتجهي عند نقطة هو صافي التدفق إلى الخارج لكل وحدة مساحة من منطقة صغيرة جدًا حولها، div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y. قلّص دائرة نحو النقطة وشاهد استقرار الفيض ÷ المساحة.

01

التباعد في هذا التصوّر

تباعد المجال المتجهي المستوي F=(P,Q)\mathbf F = (P, Q) هو الكمية القياسية div⁡F=∇⋅F=∂P/∂x+∂Q/∂y\operatorname{div}\mathbf F = \nabla\cdot\mathbf F = \partial P/\partial x + \partial Q/\partial y، ويُعرَّف حيث تكون F قابلة للاشتقاق باستمرار. وهو يقيس صافي التدفق إلى الخارج لكل وحدة مساحة — ويسمّى أحيانًا كثافة المصدر. على محيط دائرة صغيرة نصف قطرها r حول p، اجمع المركّبة العمودية إلى الخارج F⋅n\mathbf F\cdot\mathbf n على طول المحيط (الفيض Φ)، ثم اقسم على المساحة:

التباعد بوصفه نهاية
div⁡F(p)=lim⁡r→01πr2∮F⋅n ds\operatorname{div}\mathbf F(p) = \lim_{r\to 0}\frac{1}{\pi r^2}\oint \mathbf F\cdot\mathbf n\,ds

العلامات على المحيط تمثّل F·n: ممتلئة إلى الخارج وفارغة إلى الداخل، بمقياس واحد لكل دائرة. في مجال أملس تختلف النسبة عن التباعد بمقدار يتناسب مع r²، لذا فإن كل تنصيف لـ r يقسم الفارق على نحو أربعة؛ وفي المجال الخطي تساوي التباعد لكل دائرة. لا يهم الشكل: يعطي مربع حول p النهاية نفسها. تجعل قطرة حبر المعنى مرئيًا — تنمو مساحة بقعة مائع صغيرة يحملها التدفق بمعدل نسبي div F؛ أما بقعة ذات حجم منتهٍ تُتتبّع لزمن منتهٍ فتقيس متوسطًا له.

قسّم منطقة إلى خلايا واجمع تدفقاتها إلى الخارج: عبر كل حافة داخلية يكون الخارج من خلية هو الداخل إلى جارتها، فلا تبقى إلا الحدود. عند تصغير الخلايا يتحوّل المجموع إلى مبرهنة التباعد (صيغة الفيض لمبرهنة غرين): ∮∂DF⋅n ds=∬Ddiv⁡F dA\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = \iint_D \operatorname{div}\mathbf F\,dA، لمنطقة محدودة ذات حدود ملساء على أجزاء، وتكون F فيها قابلة للاشتقاق باستمرار. في ثلاثة أبعاد تصبح العبارة نفسها مبرهنة غاوس، باستعمال السطوح والحجوم.

02

ما الذي يمكنك ملاحظته؟

  • التباعد لا يتحدد باتجاه الأسهم. المصدر النقطي (x,y)/(x2+y2)(x, y)/(x^2 + y^2) يتجه للخارج في كل موضع، لكن تباعده 0 بعيدًا عن الأصل؛ وكل دائرة حول الأصل تُخرج 2π، لأن المصدر كله عند الأصل، حيث لا يُعرَّف المجال (وبمعنى التوزيعات، تباعده هناك يساوي 2π مضروبًا في دالة دلتا). يتجه المجال (x2,0)(x^2, 0) يمينًا في كل موضع، ومع ذلك توجد مصادر حيث يتسارع ومصارف حيث يتباطأ.
  • التدفق السريع ليس تباعدًا: يضغط المجال السرجي (x,−y)(x, -y) القطرة ويحتفظ بمساحتها. أما كيفية دوران التدفق على طول المحيط، F·T، فهي مسألة الدوران (E26).
  • يأتي التباعد من الاشتقاق الرمزي للصيغة؛ ولا يُكتب بعلامة «=» إلا عندما تكون قيمته الدقيقة نسبية. الفيض تكامل عددي، ولا تُعرض منه إلا الخانات التي يضمنها تقدير الخطأ. للمجال المدخل، تقارن الصفحة الفيض مع ∬ div F dA وتنبّه عند اختلافهما: قد توجد نقطة شاذة داخل المنطقة أو قربها.
03

أدوات التحكم

  • اسحب P، أو الحدود ومقبض r؛ تستقر P على شبكة الأسهم، وr على قوى 2. ينصّف r → 0 القيمة r ست مرات ويسجّل كل مستوى في نافذة سجل الاقتراب الاختيارية؛ ويفتح الشكل الصغير العدسة المكبّرة. اختر مربع لاستخدام r كنصف الضلع، ثم استخدم الشبكة لاختيار تقسيمها.
  • يحرّك التشوّه الدائرة أو المربع الحالي حتى t = ¼. اضغط أثناء التشغيل للإيقاف المؤقت، أو بعد الانتهاء لإعادة التشغيل؛ يبقى الشكل النهائي ظاهرًا. المساحة ومعدل النمو متوسطان على المنطقة والزمن. يثبّت شكل مرجعي موضعه وحجمه وشكله أثناء تحريك الكاشف أو تغيير شكله. يمسحه تغيير المجال؛ واضغط المفتاح مرة أخرى لإزالته.
  • يفتح وضع العرض عرضًا بملء الشاشة: يشغّل مفتاح المسافة r → 0، ويضاعف ← و→ قيمة r أو ينصّفانها، ويخفي H التباعد. ينسخ مشاركة رابطًا إلى المجال والكاشف والمشهد.
04

موضوعات ذات صلة

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Divergence (الإنجليزية); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.5 Divergence and Curl (الإنجليزية); ويكيبيديا: Divergence theorem (الإنجليزية).