発散：インタラクティブな可視化

この図で見る発散

平面のベクトル場 $\mathbf F = (P, Q)$ の発散はスカラー $\operatorname{div}\mathbf F = \nabla\cdot\mathbf F = \partial P/\partial x + \partial Q/\partial y$ で、F が連続微分可能なところで定義されます。単位面積あたりの正味流出量を測り、湧き出し密度とも呼ばれます。p を中心とする半径 r の小さな円の周に沿って、外向き法線成分 $\mathbf F\cdot\mathbf n$ を足し合わせ（流束 Φ）、面積で割ります。

極限としての発散

\operatorname{div}\mathbf F(p) = \lim_{r\to 0}\frac{1}{\pi r^2}\oint \mathbf F\cdot\mathbf n\,ds

周上の目盛りは F·n です。外向きは塗りつぶし、内向きは白抜きで、円ごとに尺度を設定します。滑らかな場では比と発散の差は r² に比例するので、r を半分にすると差はおよそ4分の1になります。線形の場ではどの円でも発散と一致します。形によらず、p を囲む正方形でも同じ極限になります。インクの滴で意味を目に見える形にできます。流れに運ばれる小さな領域の面積は、相対成長率 div F で変化します。有限の領域を有限の時間追跡した場合は、その平均を測ります。

領域を小区画に分けて流出量を合計すると、内部の各辺では一方からの流出が隣への流入となり、境界だけが残ります。区画を小さくすると、その和は発散定理（グリーンの定理の流束形） $\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = \iint_D \operatorname{div}\mathbf F\,dA$ になります。これは区分的に滑らかな境界を持つ有界領域で、F が連続微分可能な場合に成り立ちます。3次元では面と体積を用いた同じ主張がガウスの定理です。

注目するところ

発散は矢印の向きそのものではありません。点源 $(x, y)/(x^2 + y^2)$ はどこでも外を向きますが、原点以外では発散0です。原点を囲む円からは必ず 2π が流出します。場が定義されない原点に湧き出しが集中しているからです（超関数の意味では、その発散はデルタ関数の 2π 倍です）。 $(x^2, 0)$ はどこでも右を向きますが、速くなる場所に湧き出し、遅くなる場所に吸い込みがあります。
流れの速さは発散ではありません。鞍点の場 $(x, -y)$ は滴を平たく押しつぶしても、面積を保ちます。周に沿う流れ F·T がどう回るかは、回転（E26）が扱います。
発散は式を記号微分して求め、厳密な値が有理数の場合だけ「=」を付けます。流束は数値積分で求め、誤差評価で保証できる桁だけを示します。入力した場では流束と ∬ div F dA を比較し、一致しない場合は知らせます。領域内や近くに特異点がある可能性があります。

操作方法

P、または境界と r ハンドルをドラッグします。P は矢印の格子、r は2の累乗に吸着します。r → 0は r を6回半分にし、必要に応じて開く「極限への記録」の窓に各段階を記録します。形が小さくなると拡大鏡が開きます。正方形を選ぶと r は半辺長になり、分割で格子の細かさを選べます。
変形は現在の円や正方形を t = ¼ まで動かします。実行中に押すと一時停止し、終了後に押すと再生し直します。最後の形は表示されたままです。面積と成長率は領域と時間にわたる平均です。基準形状は、検出領域を動かしたり形を変えたりしても、位置、大きさ、形を保持します。場を変えると消え、同じキーをもう一度押しても消せます。
プレゼンテーションモードでは全画面表示になります。スペースで r → 0 を実行、← と → で r を2倍または半分、H で発散を非表示にします。共有で場、検出領域、表示範囲を再現するリンクをコピーできます。

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注目するところ

操作方法

関連項目