ベクトル場：インタラクティブな可視化

この可視化でのベクトル場

平面上のベクトル場は、定義域の各点 $(x, y)$ にベクトル $\mathbf F(x, y) = (P(x, y),\ Q(x, y))$ を対応させます。速度場として読むと、各点を動かします。粒子は下の自律系に従い、その軌道は場の積分曲線（流線）になります。このページでは場を描き、インクと粒子を場に沿って動かし、測定点を置いた場所でFの値を求めます。

場の中の粒子

x'(t) = P(x, y), \qquad y'(t) = Q(x, y)

矢印が表すのは、その瞬間の速度だけです。粒子は直線の矢印に沿って進み続けるのではなく、各点で矢印に接する曲線をたどります。回転場 $(-y, x)$ では、(1, 0)の矢印は真上を向きますが、インクの中心は単位円を回ります。格子上の矢印は共通の縮尺で描き、図の下に倍率を示します（長すぎる矢印は一部を省略し、斜線を付けます）。測定点の矢印はF(P)を実際の長さで示し、成分PとQは破線で描きます。

小さなインクの滴は、点の近くでの場の構造を見せます。1次の近似では、中心のFによって運ばれ、場の微分行列によって変形します。面積の相対的な増加率は $\operatorname{div}\mathbf F$ （有限の大きさの滴なら、滴の領域内の発散の平均）、微小な線素の平均角速度は $\tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F$ です。残りは、どちらの数値だけでも表せないせん断と伸縮です。2本の直径を見ると分かります。せん断場では、t = 1で一方は45°傾き、もう一方は水平のままです。

注目するところ

背景の粒子はランダムな場所で再出現するため、密集の度合いには意味がありません。膨張を見るにはインクの面積に注目してください（発散、E25）。粒子の短い尾は時間とともに消え、流線ではありません。流線には別の表示キーがあります。
各インクは置いた瞬間をt = 0とし、数値表示は最後に置いたインクの時間を示します。順方向ではtが増え、逆方向では減り、どちらも0を越えられます。どちらの向きに流しているときもインクを追加できます。負の時間では、初期状態の円から同じ場を逆向きにたどるため、過去の記録は必要ありません。5つの線形の例には行列指数関数を使い、振り子と入力した場には誤差を制御する数値積分を使います。可逆性には、全区間で存在する一意な解が必要です。計算が停止した点は復元できません。
インクが計算範囲を出た場所や、場が発散したり値が定まらなくなった場所では、その点の移動が止まります。そこで輪郭が途切れ、塗りつぶしを外します。ここで扱う場は2次元で、時間には依存しません。

操作方法

図をクリックするとインクを落とし、ドラッグすると連続して置けます（最大3滴）。図を移動がオンのときは、ドラッグで表示範囲を移動します。Pはドラッグするか座標を入力して動かせます（−100から100）。ドラッグ中は矢印の格子に吸着します。PとQの式には+ − × ÷ ^、sin、exp、ln、sqrtなどを使えます。
プレゼンテーションモードはプロジェクター向けの全画面表示です。スペースキーで流れを再生・停止し、→と←で向きを設定、Hで測定点のFの値を隠します。共有では、場、測定点、各時刻のインクを再現するリンクをコピーします。

この可視化でのベクトル場

注目するところ

操作方法

関連項目