Vektorfeld: Interaktive Visualisierung

Vektorfelder in dieser Visualisierung

Ein Vektorfeld in der Ebene ordnet jedem Punkt $(x, y)$ seines Definitionsbereichs einen Vektor $\mathbf F(x, y) = (P(x, y),\ Q(x, y))$ zu. Als Geschwindigkeitsfeld gelesen bewegt es jeden Punkt mit: Ein Teilchen gehorcht dem folgenden autonomen System, und seine Bahn ist eine Integralkurve (eine Stromlinie oder Flusslinie) des Felds. Diese Seite zeichnet das Feld, lässt Tinte und Teilchen darin strömen und wertet F überall dort aus, wo du die Sonde platzierst.

Ein Teilchen im Feld

x'(t) = P(x, y), \qquad y'(t) = Q(x, y)

Ein Pfeil zeigt nur die momentane Geschwindigkeit. Ein Teilchen bewegt sich daher nicht entlang eines geraden Pfeils, sondern entlang einer Kurve, die überall tangential zu den Pfeilen verläuft: Im Rotationsfeld $(-y, x)$ zeigt der Pfeil bei (1, 0) senkrecht nach oben, doch der Mittelpunkt des Tropfens umläuft den Einheitskreis. Für alle Gitterpfeile gilt derselbe Maßstab, der unter der Darstellung steht (einige längere werden gekürzt und mit einem Schrägstrich markiert). Der Sondenpfeil zeigt F(P) in wahrer Länge; seine Komponenten P und Q sind gestrichelt.

Ein kleiner Tintentropfen zeigt die Struktur des Felds nahe einem Punkt. In erster Ordnung wird er von F an seinem Mittelpunkt mitgeführt und durch die Ableitungsmatrix des Felds verformt: Seine Fläche wächst mit der relativen Rate $\operatorname{div}\mathbf F$ (bei einem Tropfen endlicher Größe mit dem Mittelwert der Divergenz über den Tropfen), seine infinitesimalen Linienelemente drehen sich im Mittel mit $\tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F$ , und übrig bleiben Scherung und Streckung, die keine der beiden Zahlen beschreibt. Die zwei Durchmesser machen es sichtbar: Im Scherfeld ist einer bei t = 1 um 45° geneigt, während der andere horizontal bleibt.

Was auffällt

Die Hintergrundteilchen entstehen an zufälligen Stellen neu; ihre Häufung hat daher keine Bedeutung. Um Ausdehnung zu sehen, beobachte die Fläche eines Tropfens (Divergenz, E25). Ihre kurzen Spuren verblassen und sind keine Stromlinien — dafür gibt es eine eigene Taste.
Jeder Tropfen startet beim Absetzen mit t = 0; die Anzeige folgt dem zuletzt abgesetzten Tropfen. Vorwärts erhöht t, rückwärts verringert es, und beides kann über 0 hinausgehen. Du kannst bei Strömung in beiden Richtungen Tinte absetzen. Negative Zeit folgt demselben Feld vom anfänglichen Kreis aus rückwärts; sie benötigt keine aufgezeichnete Vergangenheit. Die fünf linearen Vorgaben verwenden die Matrixexponentialfunktion; das Pendelfeld und eingegebene Felder verwenden numerische Integration mit Fehlerkontrolle. Umkehrbarkeit setzt eindeutige Lösungen voraus, die während des gesamten Verlaufs existieren; bereits angehaltene Punkte lassen sich nicht wiederherstellen.
Tropfen halten dort an, wo sie den berechneten Bereich verlassen, das Feld unbeschränkt wird oder nicht definiert ist; dort wird ihre Umrandung unterbrochen und die Füllung verschwindet. Die Felder hier sind zweidimensional und ändern sich nicht mit der Zeit.

Bedienung

Klicke in die Darstellung, um Tinte abzusetzen, oder ziehe für eine Tropfenfolge (höchstens drei). Bei aktivem Verschieben verschiebt Ziehen die Ansicht. Ziehe P oder gib seine Koordinaten ein (−100 bis 100); er rastet am Pfeilgitter ein. Gib P und Q mit + − × ÷ ^, sin, exp, ln, sqrt … ein.
Der Präsentationsmodus öffnet eine Vollbildansicht für Projektoren: Leertaste startet oder stoppt die Strömung, → und ← bestimmen ihre Richtung, H blendet den Wert von F an der Sonde aus. Teilen kopiert einen Link, der Feld, Sonde und Tinte zu ihrem jeweiligen Zeitpunkt wieder öffnet.

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