Rotasi Medan: Visualisasi Interaktif

Rotasi medan dalam visualisasi ini

Rotasi medan vektor bidang $\mathbf F = (P, Q)$ adalah bilangan di bawah, juga disebut rotasi skalar; ini adalah komponen ketiga dari $\nabla\times\mathbf F$ tiga dimensi. Nilainya merupakan kepadatan sirkulasi: sirkulasi mengelilingi lintasan kecil di sekitar titik, berlawanan arah jarum jam, dibagi luas yang dilingkupinya, saat lintasan menyusut ke titik. Keduanya berlaku saat F terdiferensialkan secara kontinu.

Rotasi medan sebagai turunan dan limit

\operatorname{curl}\mathbf F = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \lim_{r\to 0}\frac{1}{\pi r^2}\oint \mathbf F\cdot\mathbf T\,ds

Tanda kuning adalah komponen aliran sepanjang tepi, F·T; integralnya Γ adalah sirkulasi tepi, dan Γ/(2πr²) kecepatan sudut rata-rata tepi. Nilainya menuju setengah rotasi medan saat r → 0, dan sama dengannya pada setiap r jika rotasi medan fungsi linear. Kincir itu sendiri adalah kincir kecil ideal dalam aliran mulus: berputar pada $\omega = \tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F(P)$ , rata-rata laju putar dua unsur garis tegak lurus melalui P saat itu — yang mendatar pada ∂Q/∂x, yang tegak pada −∂P/∂y (tanda silang). Salah satunya sendiri tidak harus berputar pada ω: dalam aliran geser (y, 0), yang tegak berputar pada −1 dan yang mendatar tidak sama sekali.

Hanyutkan membiarkan kincir mengikuti aliran. Pada setiap titik yang dilalui, kincir berputar pada setengah rotasi medan di sana, sehingga total putarannya $\theta = \int \tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F\,dt$ sepanjang perjalanan; tanda setiap setengah satuan waktu mencatat orientasinya. Dalam pusaran (−y, x)/(x² + y²), rotasi medan 0 di mana-mana kecuali titik asal, tempat F tidak terdefinisi, dan kincir yang mengelilingi titik asal kembali dengan θ = 0: aliran melengkung akan memutarnya berlawanan arah jarum jam, air yang lebih cepat di sisi dalam searah jarum jam, dan keduanya saling meniadakan.

Hal yang perlu diperhatikan

Teorema Green (bentuk sirkulasi): $\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf T\,ds$ mengelilingi batas daerah D, ditempuh berlawanan arah jarum jam, sama dengan $\iint_D \operatorname{curl}\mathbf F\,dA$ , jika F terdiferensialkan secara kontinu pada himpunan terbuka yang memuat D. Dalam lintasan, sirkulasi sepanjang sisi dalam bersama berkontribusi sekali pada masing-masing dua sel dengan orientasi berlawanan, sehingga sirkulasi sel berjumlah menjadi sirkulasi luar, dan masing-masing sekitar rotasi medan × luas. Lintasan menjumlahkan rotasi medan pada pusat tiap sel dikali luasnya: jumlah titik tengah, eksak jika rotasi medan linear dan mendekati Γ saat sel menyusut pada kasus lain.
Garis arus lurus dapat memiliki rotasi medan (aliran geser, saluran), dan garis arus melingkar dapat tidak memilikinya (pusaran). Lintasan mengelilingi pusat pusaran memiliki sirkulasi 2π meskipun rotasi medan 0 di semua tempat lain di dalam: teorema tidak berlaku di sana karena F tidak terdefinisi di pusat (tangga spiral pada halaman integral garis). Tanda hanya menunjukkan komponen sepanjang tepi; komponen melintang tepi berkaitan dengan divergensi. Dalam tiga dimensi, rotasi medan berupa vektor dan teoremanya menjadi teorema Stokes.
Rotasi medan berasal dari turunan simbolik, dan “=” berarti nilai eksak. Sirkulasi memakai bentuk tertutup untuk prasetel dan integrasi numerik dengan estimasi galat untuk medan yang diketik; hanyutan memakai bentuk tertutup untuk prasetel kecuali kubik, dan integrasi numerik pada kasus lain. Tanda adalah sampel setiap setengah satuan waktu: kincir yang berputar satu putaran penuh di antara dua tanda tampak diam pada tanda, sementara θ menghitung setiap putaran. Partikel latar hanya menunjukkan arah aliran; kepadatannya tidak bermakna.

Kontrol

Seret pusat kincir P (melekat pada kisi panah) atau tepinya (melekat pada ½, 1, 2 …), atau ketik nilainya: P dari −100 sampai 100, r dari 0.001 sampai 100. Seret di tempat lain untuk menggeser tampilan; atur pembesaran dengan tombol tampilan. Pilih Kincir atau Lintasan persegi untuk mengamati medan. Lintasan memiliki setengah sisi r dan jumlah sel yang dapat diatur. Hanyutkan memulai, menjeda, atau melanjutkan proses yang sama pada mode Kincir. Kincir tetap bergerak di luar gambar. Setelah dijeda, menggeser pusatnya menetapkan titik keberangkatan baru dan membuatnya diam hingga Anda menekan Hanyutkan. Kembali ke awal memulihkan posisi dan orientasi keberangkatan serta menghapus waktu, putaran, dan jejak proses. Ketik P dan Q dengan + − × ÷ ^, sin, exp, ln, sqrt …
Mode presentasi membuka tampilan layar penuh untuk proyektor: Spasi menghanyutkan atau menjeda kincir, ← dan → menggandakan atau membagi dua tepi, H menyembunyikan cara kincir berputar. Bagikan menyalin tautan yang membuka kembali medan, kincir, dan tampilan.

Terkait

E22Medan vektor
E12Turunan parsial
E23Integral garisSegera hadir
E25Divergensi

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Curl (mathematics) (Bahasa Inggris); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.5 Divergence and Curl (Bahasa Inggris); Wikipedia: Green's theorem (Bahasa Inggris).