Math

Kalkulus Multivariabel · Divergensi

Divergensi

Divergensi medan vektor di suatu titik adalah aliran keluar bersih per satuan luas dari daerah sangat kecil di sekitarnya, div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y. Susutkan lingkaran ke titik itu dan amati fluks ÷ luas menuju nilai tetap.

01

Divergensi dalam visualisasi ini

Divergensi medan vektor bidang F=(P,Q)\mathbf F = (P, Q) adalah skalar div⁡F=∇⋅F=∂P/∂x+∂Q/∂y\operatorname{div}\mathbf F = \nabla\cdot\mathbf F = \partial P/\partial x + \partial Q/\partial y, yang didefinisikan di tempat F terdiferensialkan secara kontinu. Ukurannya adalah aliran keluar bersih per satuan luas — kadang disebut kepadatan sumber. Pada lingkaran kecil berjari-jari r di sekitar p, jumlahkan komponen normal keluar F⋅n\mathbf F\cdot\mathbf n sepanjang tepi (fluks Φ), lalu bagi dengan luas:

Divergensi sebagai limit
div⁡F(p)=lim⁡r→01πr2∮F⋅n ds\operatorname{div}\mathbf F(p) = \lim_{r\to 0}\frac{1}{\pi r^2}\oint \mathbf F\cdot\mathbf n\,ds

Tanda pada tepi adalah F·n: penuh ke luar, berongga ke dalam, satu skala per lingkaran. Untuk medan mulus, rasio berbeda dari divergensi sebesar kelipatan r², sehingga setiap pembagian dua r mengurangi selisih menjadi sekitar seperempat; pada medan linear, rasio sama dengan divergensi untuk setiap lingkaran. Bentuk tidak berpengaruh: persegi di sekitar p memberikan limit sama. Setetes tinta memperlihatkan maknanya — petak cairan kecil yang dibawa aliran bertambah luas dengan laju relatif div F; petak berukuran berhingga yang diikuti selama waktu berhingga mengukur rata-ratanya.

Bagi daerah menjadi sel dan jumlahkan aliran keluarnya: pada setiap sisi dalam, aliran keluar satu sel adalah aliran masuk tetangganya, sehingga hanya batas luar yang tersisa. Membiarkan sel menyusut mengubah jumlah menjadi teorema divergensi (bentuk fluks teorema Green): ∮∂DF⋅n ds=∬Ddiv⁡F dA\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = \iint_D \operatorname{div}\mathbf F\,dA, untuk daerah terbatas dengan batas mulus sepotong-sepotong, tempat F terdiferensialkan secara kontinu. Dalam tiga dimensi, pernyataan sama adalah teorema Gauss, dengan permukaan dan volume.

02

Hal yang perlu diperhatikan

  • Divergensi bukan tentang ke mana panah menunjuk. Sumber titik (x,y)/(x2+y2)(x, y)/(x^2 + y^2) menunjuk keluar di mana-mana tetapi memiliki divergensi 0 di luar titik asal; setiap lingkaran yang mengelilingi titik asal melepas 2π, karena seluruh sumber berada di titik asal, tempat medan tidak terdefinisi (dalam arti distribusi, divergensinya di sana adalah 2π kali delta). Medan (x2,0)(x^2, 0) menunjuk ke kanan di mana-mana, tetapi memiliki sumber saat aliran makin cepat dan serapan saat melambat.
  • Aliran cepat bukan divergensi: pelana (x,−y)(x, -y) memipihkan setetes tinta tetapi mempertahankan luasnya. Bagaimana aliran berputar sepanjang tepi, F·T, adalah pertanyaan rotasi medan (E26).
  • Divergensi berasal dari turunan simbolik rumus; ditulis dengan “=” hanya jika nilai eksaknya rasional. Fluks merupakan integral numerik, yang ditampilkan hanya hingga digit yang didukung estimasi galatnya. Untuk medan yang diketik, halaman ini membandingkan fluks dengan ∬ div F dA dan menyatakan saat keduanya berbeda: mungkin terdapat titik singular di dalam atau dekat daerah.
03

Kontrol

  • Seret P, atau batas dan pegangan r-nya; P melekat pada kisi panah, r pada pangkat 2. r → 0 membagi dua r enam kali dan mencatat tiap tingkat dalam jendela Catatan pendekatan opsional; bentuk kecil membuka kaca pembesar. Pilih Persegi untuk memakai r sebagai setengah sisi, lalu gunakan Kisi untuk memilih kisi.
  • Deformasi menjalankan lingkaran atau persegi saat ini hingga t = ¼. Tekan saat berjalan untuk menjeda, atau setelah selesai untuk mengulang; bentuk akhirnya tetap terlihat. Luas dan laju pertumbuhan adalah rata-rata atas daerah dan waktu. Bentuk acuan mempertahankan posisi, ukuran, dan bentuknya saat Anda menggeser detektor atau mengubah bentuknya. Mengubah medan menghapusnya; tekan tombol lagi untuk menghilangkannya.
  • Mode presentasi membuka tampilan layar penuh: Spasi menjalankan r → 0, ← dan → menggandakan atau membagi dua r, H menyembunyikan divergensi. Bagikan menyalin tautan ke medan, detektor, dan tampilan.
04

Terkait

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Divergence (Bahasa Inggris); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.5 Divergence and Curl (Bahasa Inggris); Wikipedia: Divergence theorem (Bahasa Inggris).