Divergência: visualização interativa

A divergência nesta visualização

A divergência de um campo vetorial plano $\mathbf F = (P, Q)$ é o escalar $\operatorname{div}\mathbf F = \nabla\cdot\mathbf F = \partial P/\partial x + \partial Q/\partial y$ , definido onde F é continuamente diferenciável. Mede a saída líquida por unidade de área — por vezes chamada densidade de fontes. Em torno de um pequeno círculo de raio r centrado em p, some a componente normal exterior $\mathbf F\cdot\mathbf n$ ao longo da fronteira (o fluxo Φ) e divida pela área:

A divergência como limite

\operatorname{div}\mathbf F(p) = \lim_{r\to 0}\frac{1}{\pi r^2}\oint \mathbf F\cdot\mathbf n\,ds

As marcas na fronteira representam F·n: cheias para fora, vazias para dentro, com uma escala por círculo. Num campo suave, a razão difere da divergência por um múltiplo de r², pelo que dividir r por dois divide a diferença por cerca de quatro; num campo linear, é igual à divergência para qualquer círculo. A forma não importa: um quadrado centrado em p dá o mesmo limite. Uma gota de tinta torna o significado visível — uma pequena porção de fluido transportada pelo escoamento cresce em área à taxa relativa div F; uma porção de dimensão finita, acompanhada durante um tempo finito, mede uma média dessa taxa.

Divida uma região em células e some as suas saídas: em cada aresta interior, o que sai de uma célula entra na vizinha, restando apenas a fronteira. Ao fazer as células encolher, a soma transforma-se no teorema da divergência (a forma de fluxo do teorema de Green): $\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = \iint_D \operatorname{div}\mathbf F\,dA$ , para uma região limitada com fronteira suave por partes, na qual F é continuamente diferenciável. Em três dimensões, o mesmo enunciado é o teorema de Gauss, com superfícies e volumes.

O que observar

A divergência não depende apenas do sentido das setas. A fonte pontual $(x, y)/(x^2 + y^2)$ aponta para fora em todo o lado, mas tem divergência 0 fora da origem; de qualquer círculo em torno da origem sai 2π, porque toda a fonte se encontra na origem, onde o campo não está definido (no sentido das distribuições, a divergência aí é 2π vezes um delta). O campo $(x^2, 0)$ aponta sempre para a direita, mas tem fontes onde acelera e sumidouros onde abranda.
Escoamento rápido não é divergência: a sela $(x, -y)$ achata uma gota, mas conserva a sua área. A forma como o escoamento roda ao longo da fronteira, F·T, é a questão do rotacional (E26).
A divergência provém da derivada simbólica da fórmula; só se escreve com «=» quando o seu valor exato é racional. O fluxo é um integral numérico, mostrado apenas com os algarismos que a estimativa do erro garante. Para um campo introduzido pelo leitor, a página compara o fluxo com ∬ div F dA e avisa quando discordam: pode haver um ponto singular na região ou perto dela.

Controlos

Arraste P, ou a fronteira e a sua pega r; P encaixa na grelha das setas e r nas potências de 2. r → 0 divide r por dois seis vezes e regista cada nível na janela opcional Registo da aproximação; uma forma pequena abre a lupa. Escolha Quadrado para usar r como semilado e depois Grelha para escolher a divisão.
Deformação anima o círculo ou quadrado atual até t = ¼. Prima durante a animação para pausar, ou depois de terminar para repetir; a forma final permanece visível. A área e a taxa de crescimento são médias sobre a região e o tempo. Forma de referência mantém a posição, a dimensão e a forma enquanto move o detetor ou altera a sua forma. Mudar o campo remove a referência; prima novamente a tecla para a remover.
O Modo de apresentação abre uma vista de ecrã inteiro: Espaço inicia r → 0, ← e → duplicam ou dividem r por dois, H oculta a divergência. Partilhar copia uma ligação para o campo, o detetor e a vista.

Relacionados

E22Campo vetorial
E12Derivada parcial
E23Integral de linhaPrevisto
E26Rotacional

Para saber mais: Wikipédia: Divergence (Inglês); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.5 Divergence and Curl (Inglês); Wikipédia: Divergence theorem (Inglês).